Introduction aux notions clés du Brevet 2019

L'exercice 2 du sujet de mathématiques de 2019 (Métropole) est un classique incontournable pour tout élève de 3ème. Il combine trois piliers du programme : la trigonométrie, la gestion des proportions (aires) et la géométrie des triangles semblables (agrandissement-réduction). L'énoncé place l'élève dans une situation concrète : la construction d'un décor de théâtre par Joanna. Ce type d'exercice est particulièrement apprécié par les correcteurs car il demande à la fois de la rigueur calculatoire et une capacité à interpréter une figure géométrique complexe (ici composée de triangles superposés dans une plaque rectangulaire).

Analyse Méthodique de la Question 1 : La Trigonométrie

La première question demande de montrer que la longueur [AM] mesure environ 3,46 m. Pour réussir, la première étape est de bien identifier le triangle de travail : le triangle $ADM$. L'énoncé précise qu'il est rectangle en $A$. Nous connaissons le côté adjacent à l'angle $\widehat{ADM}$ (le segment $[AD] = 2$ m) et nous cherchons le côté opposé ($[AM]$).
Le réflexe doit être immédiat : utiliser la formule de la tangente. Rappelons le moyen mnémotechnique SOH CAH TOA. Ici, $\tan(\widehat{ADM}) = \frac{AM}{AD}$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $\tan(60^{\circ}) = \frac{AM}{2}$. Par un simple produit en croix, $AM = 2 \times \tan(60^{\circ})$. À la calculatrice, $\tan(60^{\circ})$ vaut $\sqrt{3}$, ce qui donne environ $2 \times 1,732 = 3,464$. L'arrondi au centième donne bien $3,46$ m. Attention : assurez-vous que votre calculatrice est bien réglée en mode 'Degrés' avant d'effectuer le calcul.

Analyse de la Question 2 : Calcul d'Aires et Proportionnalité

Cette question évalue votre capacité à calculer une surface inutilisée. La plaque totale $ABCD$ est un rectangle de $4$ m sur $2$ m, soit une aire totale de $8$ m². La figure 2 montre que la partie non utilisée est représentée par la zone quadrillée à droite. Si $AM \approx 3,46$ m et que la longueur totale $AB = 4$ m, alors la largeur de la bande non utilisée est $4 - 3,46 = 0,54$ m.
L'aire de cette zone rectangulaire est donc $0,54 \times 2 = 1,08$ m². Pour trouver la proportion, on effectue le rapport : $\frac{1,08}{8} = 0,135$. Exprimé en pourcentage, cela représente $13,5\%$. La consigne demande une valeur au centième de la proportion (soit $0,14$ si l'on arrondit le résultat final ou $13,50\%$). La difficulté ici réside dans la lecture de la figure : il faut comprendre que le rectangle quadrillé correspond à la chute de la plaque $ABCD$ après la découpe de $ADM$.

Analyse de la Question 3 : Démontrer des Triangles Semblables

La notion de triangles semblables est souvent redoutée. Pourtant, la méthode est simple : il suffit de prouver qu'ils ont les mêmes angles.
1. Dans le triangle $ADM$ (rectangle en $A$), si $\widehat{ADM} = 60^{\circ}$, alors $\widehat{AMD} = 180 - (90 + 60) = 30^{\circ}$.
2. Pour le triangle $PDN$, la figure montre qu'il est rectangle en $P$. Puisque l'angle $\widehat{PDM}$ est le même que $\widehat{ADM}$ (ils sont confondus sur la demi-droite), l'angle $\widehat{PDN} = 60^{\circ}$. Par déduction, $\widehat{PND} = 30^{\circ}$.
3. Pour le triangle $PNM$, on observe les angles complémentaires le long de la droite $(AM)$.
En démontrant que les trois triangles possèdent les angles $90^{\circ}, 60^{\circ}$ et $30^{\circ}$, on conclut qu'ils sont semblables par définition. C'est une question de pure logique angulaire où la rédaction doit être minutieuse.

Analyse de la Question 4 : Agrandissement et Réduction

Joanna souhaite que le coefficient d'agrandissement pour passer de $PDN$ à $AMD$ soit inférieur à $1,5$. Le coefficient $k$ se calcule par le rapport des côtés homologues. Prenons l'hypoténuse de chaque triangle. Dans $ADM$, l'hypoténuse $DM$ peut se calculer via le cosinus ou Pythagore : $\cos(60^{\circ}) = \frac{AD}{DM} \Rightarrow 0,5 = \frac{2}{DM} \Rightarrow DM = 4$ m.
Dans le triangle $PDN$, il nous faut une longueur. Si l'on utilise les propriétés des triangles semblables établies à la question précédente, on peut établir des rapports de proportionnalité. Si le rapport est supérieur à $1,5$, le souhait de Joanna n'est pas réalisé. Le piège : Ne confondez pas le rapport des aires ($k^2$) avec le rapport des longueurs ($k$).

Conseils de Rédaction et Pièges à Éviter

Pour obtenir le maximum de points au Brevet :
1. Citez les théorèmes : Ne lancez pas de calculs sans dire 'Dans le triangle $ADM$ rectangle en $A$, j'utilise la trigonométrie'.
2. Unités et Arrondis : L'énoncé précise 'au centième près'. Ne donnez pas des valeurs entières ou au dixième, vous perdriez des points bêtement.
3. Schématisez : Si la figure semble complexe, n'hésitez pas à redessiner les triangles séparément sur votre brouillon pour mieux visualiser les angles homologues.