Introduction aux Fondamentaux de la Géométrie du Brevet

L'exercice 5 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges 2019 (Sujet Étrangers) est un classique incontournable qui mobilise deux piliers du programme de 3ème : le théorème de Thalès et le théorème de Pythagore. Ce problème s'inscrit dans un contexte concret de design de mobilier, demandant à l'élève de passer d'une modélisation 2D à une compréhension globale de la structure d'un meuble. Pour réussir, il ne suffit pas de connaître les formules ; il faut savoir identifier les configurations géométriques cachées dans une figure complexe et justifier chaque étape avec rigueur.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Le problème nous présente un meuble de rangement composé de structures métalliques identiques et de plateaux en bois. L'enjeu est de valider la géométrie d'une section du meuble avant d'en calculer la hauteur totale.

Question 1 : La réciproque du théorème de Thalès

La première question demande de démontrer que les droites (AB) et (CD) sont parallèles. C'est le signal immédiat pour utiliser la réciproque du théorème de Thalès. Dans la figure 2, nous avons deux droites (AD) et (BC) sécantes en O. Pour prouver le parallélisme, nous devons comparer les rapports des longueurs des segments issus du sommet commun O.

Calculons séparément les rapports : d'une part $OA/OD$ et d'autre part $OB/OC$.
On a $OA = 36$ cm et $OD = 64$ cm, donc $OA/OD = 36/64 = 9/16 = 0,5625$.
D'autre part, $OB = 27$ cm et $OC = 48$ cm, donc $OB/OC = 27/48 = 9/16 = 0,5625$.
Puisque $OA/OD = OB/OC$ et que les points A, O, D d'une part, et B, O, C d'autre part sont alignés dans le même ordre, alors d'après la réciproque du théorème de Thalès, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. Cette démonstration est cruciale et nécessite une rédaction précise pour obtenir l'intégralité des points.

Question 2 : Application directe du théorème de Thalès

Une fois le parallélisme établi, nous pouvons utiliser le théorème de Thalès pour calculer la longueur AB. Dans les triangles OAB et ODC, les droites (AB) et (CD) sont parallèles. On peut donc écrire l'égalité des trois rapports : $OA/OD = OB/OC = AB/CD$.
En utilisant le rapport connu $9/16$ et la valeur de $CD = 80$ cm, nous obtenons l'équation : $AB/80 = 9/16$.
En appliquant le produit en croix : $AB = (80 \times 9) / 16 = 720 / 16 = 45$ cm.
L'élève doit bien vérifier que le résultat est cohérent avec l'échelle visuelle de la figure, même si celle-ci n'est pas contractuelle.

Question 3 : La hauteur totale et le piège du théorème de Pythagore

La question finale demande de calculer la hauteur totale du meuble. Pour cela, il nous faut d'abord la hauteur d'un étage, qui correspond au segment [AC]. L'énoncé précise que (AC) est perpendiculaire à (CD). Le triangle ACD est donc rectangle en C. Nous connaissons $CD = 80$ cm. Pour trouver AC, nous avons besoin de l'hypoténuse AD. Or, $AD = AO + OD = 36 + 64 = 100$ cm.
D'après le théorème de Pythagore dans le triangle ACD rectangle en C : $AD^2 = AC^2 + CD^2$.
$100^2 = AC^2 + 80^2 \Rightarrow 10 000 = AC^2 + 6 400$.
$AC^2 = 10 000 - 6 400 = 3 600$, d'où $AC = \sqrt{3600} = 60$ cm.
Attention au calcul final de la hauteur du meuble ! Le meuble possède 4 étages et 5 plateaux en bois.
Hauteur = $(4 \times 60) + (5 \times 2) = 240 + 10 = 250$ cm.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus commune est d'oublier de sommer les épaisseurs des plateaux en bois (2 cm chacun). Il y a toujours un plateau de plus que le nombre d'étages (un au sol et un au-dessus de chaque étage). Un autre piège réside dans la confusion entre la réciproque (pour prouver que c'est parallèle) et le théorème direct (pour calculer une longueur). Enfin, assurez-vous de toujours vérifier les unités ; ici tout est en centimètres, ce qui simplifie la tâche, mais une conversion en mètres ($2,50$ m) est souvent bienvenue en conclusion.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour séduire le correcteur, structurez vos réponses : citez toujours le triangle dans lequel vous travaillez, énoncez clairement le théorème utilisé (« d'après le théorème de... »), et présentez vos calculs de manière aérée. N'oubliez pas l'unité (cm) dans votre phrase de conclusion. La clarté de votre raisonnement pèse autant que l'exactitude du résultat numérique.