Introduction aux notions d'algorithmique et de probabilités

Cet exercice issu du Brevet des Collèges 2019 (Métropole) est un modèle du genre pour tester deux compétences transversales du programme de 3ème : la compréhension d'algorithmes complexes via l'interface Scratch et l'application des probabilités élémentaires. L'algorithmique est devenue une composante essentielle de l'épreuve de mathématiques, représentant souvent une part importante des points. Ici, l'objectif est d'analyser le comportement de scripts créant des motifs géométriques (carrés et tirets) de manière soit déterministe, soit aléatoire.

Analyse Méthodique des Scripts Scratch

La première étape de l'exercice demande une lecture attentive des blocs personnalisés. Le bloc Carré contient une boucle 'répéter 4 fois'. Dans cette boucle, le stylo avance de 5 pixels et tourne à 90 degrés. Attention à la consigne de mise à l'échelle : $1\text{ cm}$ pour $2\text{ pixels}$. Si le côté du carré fait $5\text{ pixels}$, sa représentation sur papier devra faire $2,5\text{ cm}$. Il est crucial de noter le déplacement final du stylo : il s'oriente à 90 degrés et avance de $10\text{ pixels}$ après avoir levé le stylo, ce qui définit la distance entre deux motifs consécutifs.

Le bloc Tiret est beaucoup plus simple : il s'oriente vers la droite et trace un segment de $10\text{ pixels}$. La compréhension de ces deux briques de base est indispensable pour interpréter les scripts globaux qui vont suivre.

Comparaison des Scripts et Identification des Dessins

La question 2 demande d'associer le Script 1 et le Script 2 aux dessins A et B. C'est ici que l'analyse logique intervient :

• Le Script 1 utilise une boucle simple de 23 répétitions alternant systématiquement un 'carré' puis un 'tiret'. Le résultat doit donc être un motif régulier, répétitif et prévisible : carré-tiret-carré-tiret. En observant les dessins, le Dessin B présente cette alternance parfaite.
• Le Script 2 utilise une structure conditionnelle 'Si ... alors ... sinon' pilotée par un nombre aléatoire entre 1 et 2. Cela signifie qu'à chaque étape, l'ordinateur choisit au hasard entre dessiner un carré ou un tiret. Le Dessin A, qui montre des successions irrégulières (plusieurs carrés de suite, puis plusieurs tirets), correspond donc au Script 2.

Probabilités : Du Tirage Aléatoire à l'Événement Composé

La partie probabilités s'appuie sur le fonctionnement du Script 2. Puisque le script choisit un nombre entier entre 1 et 2 de manière équiprobable :

a) La probabilité que le premier élément soit un carré est de $1/2$ (ou $0,5$ soit $50\%$), car il y a une chance sur deux que le nombre tiré soit 1.

b) Pour les deux premiers éléments, nous sommes face à des événements indépendants. La probabilité que le premier soit un carré ET que le deuxième soit aussi un carré se calcule par le produit des probabilités individuelles : $1/2 \times 1/2 = 1/4$ (ou $0,25$ soit $25\%$).

Extension Algorithmique : L'introduction de la Couleur

La dernière question demande de modifier le Script 2 pour introduire de l'aléatoire dans la couleur (50% rouge, 50% noir). Le raisonnement est identique à celui du choix de la forme. Il faut créer un bloc 'Si alors sinon' basé sur un nouveau tirage aléatoire entre 1 et 2. Si le nombre est 1, on met la couleur à rouge, sinon on la met à noir. Ce bloc d'instructions doit être inséré à l'intérieur de la boucle principale du Script 2, juste avant de tracer l'élément (carré ou tiret), pour que chaque élément ait sa propre couleur tirée au sort.

Les Pièges à Éviter

Plusieurs erreurs classiques sont à surveiller dans ce type d'exercice :

• L'échelle : Ne pas confondre les pixels du script avec les centimètres sur la copie. Faites bien le calcul $5 / 2 = 2,5$.
• L'oubli du déplacement : Dans le bloc Carré, le stylo se déplace après le tracé. Si vous oubliez ce détail, vos motifs seront collés les uns aux autres.
• La multiplication des probabilités : Beaucoup d'élèves additionnent les probabilités au lieu de les multiplier pour des événements successifs.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, explicitez clairement vos choix. Par exemple, pour la question 2, écrivez : 'Le script 1 exécute une boucle alternée, ce qui correspond à la régularité du dessin B'. Pour les probabilités, utilisez les notations mathématiques standards comme $P(A)$ et présentez vos résultats sous forme de fractions simplifiées ou de pourcentages.