Introduction aux fondamentaux du Brevet des Collèges

Cet exercice, issu de la session 2019 du Brevet en Polynésie française, prend la forme d'un Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Bien que l'absence de justification soit spécifiée, la réussite de cette épreuve repose sur une maîtrise transversale des notions de 3ème : arithmétique, puissances, fonctions affines et géométrie de transformation. L'objectif pédagogique ici est de vérifier la rapidité d'exécution et la précision des calculs de base. Pour chaque question, l'analyse suivante détaille le cheminement logique pour éviter les pièges classiques et optimiser votre temps lors de l'examen national.

1. Maîtrise des puissances et gestion des signes

La première question porte sur le calcul de $(-2)^4$. La notion testée ici est la puissance d'un nombre négatif. Dans l'expression $(-2)^4$, l'exposant 4 est un nombre pair. Le raisonnement mathématique est le suivant : le signe moins est répété quatre fois lors de la multiplication : $(-2) \times (-2) \times (-2) \times (-2)$. En appliquant la règle des signes (moins par moins donne plus), nous obtenons un résultat positif. Le calcul numérique pur est $2 \times 2 \times 2 \times 2 = 16$. Les erreurs communes consistent à proposer $-8$ (en multipliant la base par l'exposant) ou à oublier l'impact de la parité de l'exposant sur le signe final. En 3ème, il est crucial de différencier $(-2)^4$ qui vaut 16 de $-2^4$ qui vaudrait $-16$.

2. Conversion de vitesse : du km/h au m/s

La question 2 demande la conversion de $90$ km/h en m/s. C'est un grand classique du Brevet qui fait le lien entre les mathématiques et la physique. Pour convertir des kilomètres par heure en mètres par seconde, il faut appliquer une double transformation : multiplier par $1\,000$ pour passer des km aux mètres, et diviser par $3\,600$ pour passer des heures aux secondes (puisqu'une heure contient 60 minutes de 60 secondes chacune). Le calcul est donc : $(90 \times 1\,000) / 3\,600 = 90\,000 / 3\,600 = 25$ m/s. Une astuce de calcul rapide consiste à diviser directement la valeur en km/h par $3,6$. Si l'on fait $90 / 3,6$, on trouve bien $25$. La réponse $0,025$ est un piège lié à une mauvaise manipulation des puissances de dix, et $25\,000$ est une erreur d'échelle majeure.

3. Arithmétique : décomposition en produits de facteurs premiers

La question 3 évalue la décomposition de 24. Un nombre est premier s'il n'est divisible que par 1 et par lui-même (2, 3, 5, 7, 11...). Analysons les propositions : $2 \times 3 \times 4$ n'est pas une décomposition en facteurs premiers car 4 n'est pas un nombre premier (il est divisible par 2). De même, $2 \times 2 \times 6$ est incorrect car 6 n'est pas premier (divisible par 2 et 3). La seule réponse valide est $2 \times 2 \times 2 \times 3$, soit $2^3 \times 3$. Cette compétence est fondamentale pour simplifier des fractions ou trouver le plus grand commun diviseur (PGCD) dans d'autres contextes de l'épreuve.

4. Fonctions affines et calcul d'image

La question 4 porte sur la fonction affine $f(x) = 2x + 5$. On cherche l'image de $-1$, ce qui revient à calculer $f(-1)$. Le processus consiste à remplacer la variable $x$ par la valeur donnée : $f(-1) = 2 \times (-1) + 5$. En respectant les priorités opératoires, on effectue d'abord la multiplication : $2 \times (-1) = -2$. Ensuite, on réalise l'addition : $-2 + 5 = 3$. L'image de $-1$ est donc 3. Attention à ne pas confondre le calcul d'une image (on remplace $x$) avec la recherche d'un antécédent (on résout l'équation $f(x) = y$). Les réponses 6 et $-7$ proviennent souvent d'erreurs de signes ou de mauvaises manipulations des termes de l'expression.

5. Agrandissement et réduction : l'impact sur les aires

La dernière question aborde les rapports d'agrandissement. Si les dimensions d'une figure (longueurs) sont multipliées par un coefficient $k$, alors son aire est multipliée par $k^2$ et son volume par $k^3$. Ici, les dimensions du rectangle sont multipliées par $3$ (donc $k = 3$). L'aire est par conséquent multipliée par $3^2$, soit $3 \times 3 = 9$. C'est un concept souvent négligé par les élèves qui ont tendance à répondre intuitivement 3. Il est essentiel de mémoriser cette progression géométrique des dimensions vers les surfaces.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour un QCM de ce type, la consigne est claire : ne recopiez que le numéro et la réponse. Ne perdez pas de temps à justifier sur votre copie, mais assurez-vous de faire ces calculs au brouillon. Une lecture attentive de l'énoncé est primordiale pour ne pas rater une instruction spécifique. La gestion du temps est la clé : ce type d'exercice doit être traité en moins de 10 minutes pour conserver du temps pour les problèmes de géométrie ou les fonctions plus complexes qui suivront.