Introduction aux probabilités au Brevet
Les probabilités constituent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, issu du sujet officiel du Brevet 2019 en Polynésie (Exercice 3), porte sur une expérience aléatoire classique : le tirage au sort dans une urne (ou ici, un paquet de bonbons). L'objectif est de manipuler les notions d'effectifs, de fréquences et de comparaison de probabilités. Comprendre que la probabilité est un rapport entre le nombre de cas favorables et le nombre de cas total est la clé pour réussir cette partie du Diplôme National du Brevet (DNB).
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Calcul de la probabilité d'un événement simple
La première question demande de calculer la probabilité de piocher un bonbon bleu. Sam dispose d'un paquet de $500$ bonbons au total. Parmi eux, $150$ sont bleus. La formule de Laplace nous dit que dans une situation d'équiprobabilité, la probabilité d'un événement $A$ est donnée par : $P(A) = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre total d'issues}}$. Ici, $P(\text{bleu}) = \frac{150}{500}$. Pour simplifier, on divise par $10$ : $\frac{15}{50}$, puis par $5$ : $\frac{3}{10}$. La probabilité est donc de $0,3$ ou $30\%$.
2. Interprétation des pourcentages
La mention "20\%" dans l'énoncé suggère une question sur la proportion. Si l'on devait calculer le nombre de bonbons correspondant à $20\%$ du paquet total, on effectuerait le calcul suivant : $500 \times \frac{20}{100} = 100$. Savoir passer d'une fréquence ou d'un pourcentage à un effectif est une compétence cruciale attendue en fin de cycle 4. Cela permet de vérifier la cohérence des données fournies dans un énoncé complexe.
3. Comparaison de probabilités par l'absurde ou le calcul
Dans la question 3, on nous donne l'effectif des bonbons verts : $130$. Pour savoir s'il y a plus de chances de piocher un vert ou un jaune, il faut déterminer l'effectif des bonbons jaunes. Nous savons que : $\text{Bleus} + \text{Verts} + (\text{Rouges} + \text{Jaunes}) = 500$. Soit $150 + 130 + (\text{Rouges} + \text{Jaunes}) = 500$. Donc $\text{Rouges} + \text{Jaunes} = 500 - 280 = 220$. Sans l'effectif précis des rouges, l'élève doit analyser si l'énoncé permet de conclure. Si l'énoncé sous-entend une répartition équitable ou une donnée manquante, la logique reste la même : plus l'effectif d'une couleur est élevé par rapport au total, plus la probabilité augmente.
4. Comparaison de deux univers de probabilité
La question d'Aïcha est la plus technique. Elle propose de comparer la probabilité de tirer un bleu dans deux paquets différents. Dans le paquet de Sam, $P(\text{Sam}) = \frac{150}{500} = 0,3$. Dans le paquet d'Aïcha, l'effectif total est de $140 + 100 + 60 + 100 = 400$ bonbons. La probabilité de tirer un bleu est $P(\text{Aïcha}) = \frac{140}{400} = \frac{14}{40} = \frac{7}{20} = 0,35$. On compare $0,35$ et $0,30$. Puisque $0,35 > 0,30$, Aïcha a raison : la probabilité est plus élevée dans son paquet.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal dans cet exercice est de se contenter de comparer les effectifs bruts. Un élève pourrait penser que Sam a plus de chances car il a $150$ bleus alors qu'Aïcha n'en a que $140$. C'est une erreur de raisonnement majeure. En probabilités, ce n'est pas la quantité absolue qui compte, mais la proportion (la part relative) par rapport au total. Pensez toujours à calculer le total des issues pour chaque situation avant de comparer.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour obtenir le maximum de points :
1. Nommez clairement les événements (ex: "Soit $B$ l'événement piocher un bonbon bleu").
2. Écrivez la formule littérale avant de passer aux chiffres.
3. Donnez vos résultats sous forme de fraction simplifiée, puis de nombre décimal.
4. Faites une phrase de conclusion claire qui répond précisément à la question posée (ex: "Aïcha a raison car $0,35 > 0,3$").
Pourquoi réviser cet exercice ?
Cet exercice de 2019 est représentatif des sujets actuels. Il ne demande pas seulement des calculs, mais une capacité à argumenter et à comparer. En maîtrisant ce type de problème, vous vous assurez une réussite sur les exercices de gestion de données, qui représentent souvent environ 10 à 15 points sur 100 au Brevet de mathématiques.