Introduction aux notions de géométrie du Brevet

L'exercice 4 du sujet du Brevet de Mathématiques 2019 (Polynésie) est un classique incontournable qui mobilise une large palette de compétences géométriques du cycle 4. Cet exercice, centré sur la figure d'un moulin à vent décoratif, permet d'évaluer la maîtrise des transformations du plan (symétries et rotations), l'application du théorème de Thalès dans une configuration de triangles emboîtés, ainsi que l'utilisation de la trigonométrie pour le calcul d'angles. Les tags associés à cette étude sont : Transformations, Agrandissement-réduction, Thalès, et Trigonométrie. La structure de l'exercice est progressive, commençant par une observation visuelle des propriétés de symétrie pour aboutir à des calculs de longueurs et d'angles rigoureux.

Analyse méthodique de l'exercice

L'énoncé présente quatre ailes de moulin représentées par des rectangles superposables (BCDE, FGHI, JKLM et PQRS). La clé de la première partie réside dans la compréhension des positions relatives de ces rectangles autour du point central A.

1. Identification des transformations

La première question demande quelle transformation permet de passer du rectangle FGHI au rectangle PQRS. En observant les points $G, F, A, P, Q$ qui sont alignés et le fait que $AF = AP$ et $AG = AQ$, on constate que le point A est le milieu des segments reliant les points homologues. Il s'agit donc d'une symétrie centrale de centre A. Pour un élève de 3ème, il est aussi correct de parler d'une rotation de centre A et d'angle $180^{\circ}$.

Pour la deuxième question, on cherche l'image de FGHI par une rotation de centre A d'angle $90^{\circ}$ dans le sens inverse des aiguilles d'une montre (sens anti-horaire). En suivant ce mouvement, le segment [AF] qui est horizontal à gauche pivote vers le bas pour se superposer au segment [AJ]. Par conséquent, l'image du rectangle FGHI est le rectangle JKLM. La rigueur ici consiste à bien vérifier l'ordre des points et le sens de rotation imposé.

2. Justification du parallélisme et Théorème de Thalès

La question 3 introduit des mesures précises : $AB = 10$ cm, $AC = 30$ cm et $BV = 4$ cm avec V sur [EB].

3a. Justifier que (DC) et (VB) sont parallèles

Le rectangle BCDE possède des côtés opposés parallèles, donc $(DC) \parallel (EB)$. Comme le point V appartient au segment [EB], les droites (EB) et (VB) sont confondues. Par conséquent, (DC) est bien parallèle à (VB). C'est une justification de géométrie pure s'appuyant sur les propriétés des quadrilatères particuliers.

3b. Calcul de la longueur DC

Nous sommes dans une configuration de Thalès avec les triangles ABV et ACD. Les conditions d'application sont réunies :
- Les points A, B, C sont alignés.
- Les points A, V, D sont alignés (le point D étant l'image de V par l'homothétie de centre A).
- $(VB) \parallel (DC)$.
D'après le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $\frac{AB}{AC} = \frac{AV}{AD} = \frac{VB}{DC}$.
En remplaçant par les valeurs connues : $\frac{10}{30} = \frac{4}{DC}$.
On utilise l'égalité des produits en croix : $10 \times DC = 30 \times 4$, soit $10 \times DC = 120$. On en déduit que $DC = 12$ cm. Notez que le rapport $\frac{AC}{AB} = 3$ indique un agrandissement de coefficient 3.

3c. Détermination de la mesure de l'angle $\widehat{DAC}$

Puisque BCDE est un rectangle, l'angle $\widehat{ABC}$ est un angle droit. Comme les points C, B, A sont alignés, le triangle ABC est rectangle en B, et par extension, dans la configuration d'agrandissement, le triangle ACD est rectangle en C.
Dans le triangle ACD rectangle en C, nous connaissons le côté opposé à l'angle $\widehat{DAC}$ ($DC = 12$ cm) et le côté adjacent ($AC = 30$ cm). Nous utilisons donc la tangente :
$\tan(\widehat{DAC}) = \frac{\text{côté opposé}}{\text{côté adjacent}} = \frac{DC}{AC} = \frac{12}{30} = 0,4$.
À l'aide de la calculatrice (touche $\arctan$ ou $\tan^{-1}$), on trouve $\widehat{DAC} \approx 21,8^{\circ}$. L'énoncé demande d'arrondir au degré près, donc $\widehat{DAC} \approx 22^{\circ}$.

Les pièges à éviter

1. Le sens de rotation : Ne pas confondre le sens horaire (celui des aiguilles d'une montre) et le sens anti-horaire. Une erreur ici change totalement le rectangle d'arrivée.
2. Confusion Thalès/Pythagore : On utilise Thalès pour les longueurs avec des parallèles, et Pythagore pour les longueurs dans un triangle rectangle. Ici, les deux peuvent être utiles, mais Thalès est plus direct pour DC.
3. Unités et Arrondis : Toujours vérifier si l'on demande un arrondi au dixième ou à l'unité. L'oubli de l'unité (cm) dans la réponse finale peut coûter des points de rédaction.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en utilisant des connecteurs logiques. Pour Thalès, citez toujours les droites parallèles et les points alignés avant d'énoncer le théorème. Pour la trigonométrie, précisez systématiquement dans quel triangle rectangle vous travaillez. Une figure codée au brouillon aide énormément à ne pas se tromper de segments lors du calcul des rapports.