Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu de la session 2019 (Grèce) est un incontournable du programme de 3ème. Il combine trois piliers majeurs des mathématiques au collège : le programme de calculs, le calcul littéral (développement et identités remarquables) et l'étude des fonctions (linéaires, affines et autres). L'objectif est de vérifier la capacité de l'élève à passer d'une suite d'instructions à une expression algébrique, puis à interpréter cette expression sous forme graphique. Le passage de la forme développée $f(x) = 2x + 1$ à sa représentation en droite est le cœur de la compétence attendue.

Analyse Méthodique du Sujet

L'exercice se décompose en deux phases : une phase calculatoire et une phase d'interprétation graphique (QCM).

1. Application numérique avec un entier positif

La première question demande de vérifier le résultat pour le nombre 2. C'est une question de mise en confiance. Suivons les étapes :
• Nombre de départ : $2$
• Ajouter 1 : $2 + 1 = 3$
• Élever au carré : $3^2 = 9$
• Soustraire le carré du nombre de départ : $9 - 2^2 = 9 - 4 = 5$.
Le résultat est bien 5. Cette étape permet de valider la compréhension de l'énoncé.

2. Gestion des nombres relatifs

Pour le nombre $-3$, la rigueur sur les signes est primordiale :
• Nombre de départ : $-3$
• Ajouter 1 : $-3 + 1 = -2$
• Élever au carré : $(-2)^2 = 4$ (Attention, un carré est toujours positif !)
• Soustraire le carré du nombre de départ : $4 - (-3)^2 = 4 - 9 = -5$.
Le piège classique ici est d'oublier que le carré de $-3$ est $+9$, et que la soustraction transforme cela en $-5$.

3. Passage au calcul littéral et simplification

On nous donne $f(x) = (x + 1)^2 - x^2$. Pour montrer que $f(x) = 2x + 1$, il faut développer l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.
Ici, $(x+1)^2 = x^2 + 2 \times x \times 1 + 1^2 = x^2 + 2x + 1$.
En réinjectant dans la fonction : $f(x) = (x^2 + 2x + 1) - x^2$.
Les termes en $x^2$ s'annulent ($x^2 - x^2 = 0$), il reste $f(x) = 2x + 1$.
On identifie immédiatement une fonction affine de la forme $ax + b$.

4. Analyse des représentations graphiques (QCM)

Question 1 : La fonction $f(x) = 2x + 1$ est une fonction affine. Sa représentation est une droite. On élimine la représentation A (parabole). Le coefficient directeur est $a=2$ (positif), donc la droite monte. L'ordonnée à l'origine est $b=1$. La représentation C passe par le point $(0;1)$ et monte. La réponse est donc la Représentation C.

Question 2 : Sur la représentation A, on cherche l'image de 1. On se place à $x=1$ sur l'axe des abscisses, on monte verticalement jusqu'à la courbe, puis on lit l'ordonnée. On trouve 4. (Vérification par le calcul : $(1+1)^2 = 4$). Réponse : 4.

Question 3 : Sur la représentation B, on cherche l'antécédent de 3. On se place à $y=3$ sur l'axe des ordonnées, on rejoint la droite horizontalement, puis on descend sur l'axe des abscisses. On lit $-1$. Réponse : $-1$.

Les Pièges à éviter

1. Les priorités opératoires : Dans le programme de calcul, le carré s'applique au résultat de l'addition. Ne pas confondre $(x+1)^2$ avec $x^2 + 1^2$.
2. Les signes : Un nombre négatif élevé au carré devient positif. $(-3)^2$ n'est pas $-9$.
3. Confusion Image/Antécédent : L'image se lit sur l'axe vertical (ordonnées), l'antécédent sur l'axe horizontal (abscisses).

Conseils de Rédaction

Pour obtenir tous les points, présentez vos calculs ligne par ligne. Pour la question 3, citez l'identité remarquable utilisée. Pour le QCM, relisez bien la consigne : "écrire sur la copie le numéro de la question et la bonne réponse". Même si aucune justification n'est demandée, avoir fait les petits schémas au brouillon sécurise votre note.