Introduction aux fondamentaux du Brevet de Mathématiques

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2019 pour la zone Nouvelle-Calédonie, est un format classique de Questionnaire à Choix Multiples (QCM). Ce type d'épreuve est stratégique pour les candidats car il permet de valider rapidement des points sur des notions clés du programme de 3ème. Ici, nous abordons trois piliers majeurs : l'arithmétique (décomposition en facteurs premiers), la géométrie avec le théorème de Thalès, et le calcul littéral (développement et réduction).

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : La décomposition en facteurs premiers

La question nous demande de trouver la décomposition de $\np{1600}$. Rappelons qu'un nombre premier est un nombre qui n'a que deux diviseurs : 1 et lui-même (2, 3, 5, 7, 11...).

Analysons les réponses proposées :
A) $4^2 \times 10^2$ : Ce n'est pas une décomposition en facteurs premiers car 4 et 10 ne sont pas des nombres premiers.
B) $2^8 \times 5^2 = 256 \times 25 = 6400$. Cette réponse est incorrecte.
C) $2^6 \times 5^2 = 64 \times 25 = 1600$. C'est la bonne réponse.

Pour trouver ce résultat sans tâtonner, on peut diviser successivement par les plus petits nombres premiers : $1600 = 16 \times 100 = 2^4 \times (2^2 \times 5^2) = 2^6 \times 5^2$.

Question 2 : Application du Théorème de Thalès

Nous sommes en présence d'une configuration de Thalès dite « en papillon » (ou sablier) avec les points E, A, M alignés et F, A, N alignés, et les droites (EF) et (MN) parallèles. Selon le théorème de Thalès, les rapports des longueurs sont égaux : $\frac{AE}{AM} = \frac{AF}{AN} = \frac{EF}{MN}$.

En utilisant les données de l'énoncé : $AE = 2$, $AM = 5$, $EF = 4$. On cherche $MN$.
L'égalité devient : $\frac{2}{5} = \frac{4}{MN}$.
Grâce au produit en croix, nous obtenons : $2 \times MN = 4 \times 5$, soit $2 \times MN = 20$, d'où $MN = \frac{20}{2} = 10$ cm.

Question 3 : Développement et réduction d'expression littérale

L'expression à traiter est $6x(3x - 5) + 7x$. Ici, nous devons appliquer la simple distributivité pour le premier terme.

Étape 1 : Distribuer $6x$ sur les termes de la parenthèse :
$6x \times 3x = 18x^2$
$6x \times (-5) = -30x$

Étape 2 : Réintégrer le reste de l'expression :
$18x^2 - 30x + 7x$

Étape 3 : Réduire l'expression en regroupant les termes en $x$ :
$-30x + 7x = -23x$
Le résultat final est donc $18x^2 - 23x$. C'est la réponse A.

Les Pièges à éviter au Brevet

1. En arithmétique : Ne pas confondre une décomposition en produit de puissances (comme $4^2$) avec une décomposition en facteurs *premiers*. Si la base n'est pas première, la réponse est fausse d'office.
2. En géométrie : Attention à l'ordre des rapports dans Thalès. Il faut toujours garder le même ordre (petit triangle sur grand triangle, ou inversement). Ne pas mélanger $AE/AM$ avec $AM/AE$ dans la même équation.
3. En calcul littéral : L'erreur la plus fréquente concerne les signes. Rappelez-vous que le signe devant un terme lui appartient. Ici, le « - » appartient au 5, donc $6x \times (-5)$ donne un résultat négatif.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour un QCM, même si la justification n'est pas demandée sur la copie, elle est indispensable sur votre brouillon. Écrivez clairement vos étapes de calcul. Si vous avez un doute, testez les réponses proposées une par une pour voir laquelle fonctionne (notamment pour l'arithmétique). Sur la copie, contentez-vous de noter : « Question 1 : réponse C » pour gagner du temps, mais soignez la lisibilité de vos chiffres pour éviter toute confusion avec le correcteur.