Introduction aux notions de l'exercice

Cet exercice issu du sujet de brevet 2019 (Amérique du Sud) mobilise deux compétences fondamentales du cycle 4 : le calcul numérique et la prise d'initiatives. Dans un contexte de vie réelle (frais de déplacement), l'élève doit manipuler des données tabulaires complexes, appliquer une formule algébrique simple et mener une réflexion comparative rigoureuse. La difficulté réside dans l'organisation de la pensée et la précision des calculs avec de nombreuses décimales.

Analyse Méthodique de la Question 1 : Vérification d'un Montant

La première question est une mise en jambe guidée. On demande de vérifier un résultat pour un trajet de 30 km. La première étape consiste à identifier la bonne ligne dans le Document 1. Le trajet de 30 km se situe dans l'intervalle « De 17 km à 32 km ». À partir de cette ligne, nous extrayons les paramètres : $a = 0,2503$ et $b = 0,2165$.

En appliquant la formule $a + b \times d$, le calcul devient : $0,2503 + 0,2165 \times 30$. En respectant les priorités opératoires (la multiplication avant l'addition), on obtient $0,2503 + 6,495 = 6,7453$. En arrondissant au centime d'euro supérieur ou le plus proche, on retrouve bien les $6,75$ € demandés. Cette étape valide la compréhension du modèle mathématique proposé par l'entreprise.

Analyse Méthodique de la Question 2 : La Prise d'Initiatives

Cette question est plus ouverte et demande de comparer un remboursement théorique à un coût réel. L'élève doit décomposer son travail en trois étapes distinctes :

1. Calcul du Remboursement de l'Entreprise

Pour un trajet de 386 km, l'employé se situe dans la tranche « De 301 km à 499 km ». On relève $a = 13,6514$ et $b = 0,1030$.
Calcul : $13,6514 + 0,1030 \times 386 = 13,6514 + 39,758 = 53,4094$ €.

2. Calcul des Dépenses Réelles de l'Employé

Les dépenses se composent du péage et de l'essence. Le péage est fixe : $37$ €. Pour l'essence, on utilise les données du Document 2. La voiture consomme $6,2$ litres pour $100$ km. Pour $386$ km, elle consomme : $(386 \div 100) \times 6,2 = 23,932$ litres. Le coût de l'essence est donc $23,932 \times 1,52 \approx 36,37664$ €.
Dépense totale : $37 + 36,37664 = 73,37664$ €.

3. Comparaison et Conclusion

On compare $53,41$ € (remboursement) et $73,38$ € (dépense). Le remboursement est inférieur aux dépenses réelles. La réponse à la question est donc négative.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal est l'erreur de ligne dans le tableau. Une lecture trop rapide pourrait amener l'élève à choisir la tranche « De 200 à 300 km ». Un autre risque majeur concerne les unités : il ne faut pas oublier de multiplier la consommation par le prix du litre d'essence. Enfin, attention aux priorités opératoires dans la formule $a + b \times d$ ; l'addition des termes avant la multiplication est une erreur classique qui fausse totalement le résultat.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points sur une question de « prise d'initiative », explicitez clairement vos étapes : « Je calcule d'abord... », « Puis je cherche le coût de... ». Même si votre résultat final est erroné à cause d'une faute de frappe sur la calculatrice, le correcteur valorisera votre démarche logique et l'utilisation correcte des documents. N'oubliez jamais de conclure par une phrase répondant explicitement à la question posée, en utilisant des valeurs numériques pour justifier (comparaison d'inégalités).