Introduction aux programmes de calcul et au calcul littéral

L'exercice 1 du brevet de mathématiques 2019, série Asie, est un classique incontournable du programme de troisième. Il met en scène deux personnages, Nina et Claire, proposant chacune un algorithme de calcul différent. Cet exercice mobilise deux compétences fondamentales du socle commun : la capacité à exécuter un protocole de calcul arithmétique et l'aptitude à modéliser une situation par une expression littérale pour généraliser une propriété.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'analyse se décompose en trois étapes progressives, allant de l'application numérique simple à la démonstration algébrique complexe.

Question 1 : Vérification par l'exemple (Nombre de départ : 1)

Pour la première question, l'objectif est de s'assurer de la bonne compréhension des étapes de chaque programme. Pour Nina, en partant de $1$, on effectue : $1 - 1 = 0$, puis $0 \times (-2) = 0$, et enfin $0 + 2 = 2$. Pour Claire, le calcul est : $1 \times (-0,5) = -0,5$, suivi de $-0,5 + 1 = 0,5$. On constate alors que $2$ est effectivement quatre fois plus grand que $0,5$ ($0,5 \times 4 = 2$). Cette étape est cruciale pour l'élève car elle permet de valider la lecture des consignes avant d'entamer la phase d'abstraction.

Question 2 : Inversion du programme et résolution d'équation

La question demande quel nombre choisir pour que le résultat final de Nina soit $0$. Ici, deux méthodes s'offrent à l'élève. La première consiste à remonter le programme de calcul à l'envers en appliquant les opérations réciproques : soustraire $2$ ($0 - 2 = -2$), diviser par $-2$ ($-2 / -2 = 1$), puis ajouter $1$ ($1 + 1 = 2$). La seconde méthode, plus académique pour un niveau 3ème, consiste à poser une équation. Si $x$ est le nombre de départ, le programme de Nina s'écrit : $(x - 1) \times (-2) + 2$. Résoudre $-2(x - 1) + 2 = 0$ mène rapidement à $x = 2$.

Question 3 : La généralisation par le calcul littéral

Nina affirme que son résultat sera toujours quatre fois supérieur à celui de Claire. C'est ici que le calcul littéral prend tout son sens. Pour prouver ou infirmer cette affirmation, il est impossible de se contenter de tests numériques (même s'ils fonctionnent pour $1$ ou $10$). Il faut exprimer les deux résultats en fonction d'une variable $x$. Le résultat de Nina est $N(x) = -2x + 4$ après développement de $-2(x - 1) + 2$. Le résultat de Claire est $C(x) = -0,5x + 1$. En multipliant $C(x)$ par $4$, on obtient $4 \times (-0,5x + 1) = -2x + 4$. Les deux expressions étant identiques pour toute valeur de $x$, Nina a raison.

Les Pièges à Éviter

La principale difficulté réside dans la gestion des nombres relatifs, particulièrement lors de la multiplication par $-2$ ou $-1/2$. Une erreur de signe au début du programme fausse toute la suite. Un autre piège fréquent est l'oubli des parenthèses lors de la traduction du programme en expression littérale. Sans les parenthèses dans $(x-1) \times (-2)$, la priorité opératoire s'appliquerait uniquement sur le $1$, ce qui est une erreur classique de début de cycle 4. Enfin, attention à la rédaction de la question 3 : une simple vérification sur deux ou trois nombres ne constitue pas une preuve mathématique universelle.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, il est indispensable de bien détailler chaque étape de calcul. Ne donnez pas seulement le résultat final. Utilisez des phrases de transition comme : 'Soit $x$ le nombre choisi au départ'. Pour la question 3, concluez clairement par une phrase telle que : 'L'égalité étant vraie pour toute valeur de $x$, l'affirmation de Nina est exacte'. Présentez vos calculs de manière aérée et encadrez vos résultats finaux pour faciliter la lecture du correcteur.

Conclusion pédagogique

Cet exercice est un excellent test de fin de collège. Il permet d'évaluer la transition entre l'arithmétique (calculer avec des nombres) et l'algèbre (raisonner sur des structures). La maîtrise de cette compétence est le socle de la réussite pour le passage en classe de Seconde, où le calcul littéral devient l'outil de base de toutes les analyses de fonctions.