Introduction aux notions d'Arithmétique et de Puissances
L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques au collège, particulièrement pour l'épreuve du Brevet des collèges (DNB). Cet exercice issu de la session 2019 pour la zone Métropole se concentre sur deux piliers du programme de 3ème : la décomposition en produit de facteurs premiers et la manipulation des puissances. Comprendre comment décomposer un nombre entier comme $\np{2744}$ permet non seulement de simplifier des fractions, mais aussi de résoudre des équations complexes impliquant des exposants. L'objectif ici est de faire le pont entre la structure d'un nombre et ses propriétés algébriques.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Décomposition de $\np{2744}$ et calculs associés
La première étape consiste à décomposer le nombre $\np{2744}$. Pour réussir cette question, il faut appliquer les critères de divisibilité de manière systématique. Puisque $\np{2744}$ est pair, on commence par le diviser par 2. On obtient $1372$, encore pair, donc divisible par 2 ($686$), puis encore par 2 pour arriver à $343$. À ce stade, le nombre n'est plus divisible par 2, ni par 3 (la somme des chiffres $3+4+3=10$), ni par 5. On teste alors 7 : $343 \div 7 = 49$, et $49 = 7 \times 7$. On en déduit que : $\np{2744} = 2^3 \times 7^3$.
Pour la question 1.b, on utilise la propriété des puissances $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ et $(a^n)^m = a^{n \times m}$. Puisque $\np{2744} = 2^3 \times 7^3$, alors $\np{2744}^2 = (2^3 \times 7^3)^2 = (2^3)^2 \times (7^3)^2 = 2^6 \times 7^6$. Cette étape est cruciale pour la suite du raisonnement.
La question 1.c demande de trouver $x$ tel que $x^3 = \np{2744}^2$. En utilisant la décomposition précédente, nous avons $x^3 = 2^6 \times 7^6$. Pour extraire la racine cubique (ou passer à la puissance $1/3$), on remarque que $2^6 = (2^2)^3$ et $7^6 = (7^2)^3$. Ainsi, $x^3 = (2^2 \times 7^2)^3$, ce qui nous donne par identification $x = 2^2 \times 7^2 = 4 \times 49 = 196$.
2. Généralisation : L'égalité $a^3 = b^2$
Dans la seconde partie, on s'éloigne des valeurs numériques fixes pour explorer une relation algébrique. Si $a = 100$, alors $a^3 = 100^3 = (10^2)^3 = 10^6$. On cherche $b$ tel que $b^2 = 10^6$. En prenant la racine carrée, on trouve $b = \sqrt{10^6} = 10^3 = 1000$.
Enfin, pour trouver deux nombres $a$ et $b$ entre 2 et 10 vérifiant $a^3 = b^2$, on procède par tâtonnement intelligent. $2^3=8$ (non carré), $3^3=27$ (non carré), $4^3=64$. Or, $64 = 8^2$. On a donc le couple $(a=4, b=8)$ qui respecte parfaitement les conditions de l'énoncé.
Les Pièges à éviter
L'erreur la plus fréquente lors de la décomposition est d'oublier de vérifier les petits nombres premiers (2, 3, 5, 7, 11). Certains élèves s'arrêtent à $343$ en pensant qu'il est premier alors qu'il est divisible par 7. Un autre piège concerne les propriétés des puissances : attention à ne pas confondre $2^3 \times 2^2 = 2^5$ avec $(2^3)^2 = 2^6$. Dans la question 1.c, assure-toi de bien regrouper les puissances par 3 pour pouvoir identifier $x$.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, ta rédaction doit être exemplaire. Présente tes divisions successives pour la décomposition ou utilise une phrase claire : « En utilisant les critères de divisibilité, on décompose $\np{2744}$ en produit de facteurs premiers... ». Pour les calculs de puissances, cite la propriété utilisée, par exemple : « On utilise la règle $(a^n)^m = a^{n \times m}$ ». Enfin, n'oublie pas de vérifier que tes réponses finales (comme $a=4$ et $b=8$) respectent bien les bornes imposées par l'énoncé (supérieurs à 2 et inférieurs à 10).