Introduction aux notions de Géométrie et d'Homothétie

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2019 en Polynésie est une étude de cas fascinante qui lie l'architecture moderne de la pyramide du Louvre à l'architecture antique de la pyramide de Khéops. Cet exercice sollicite deux compétences majeures du programme de troisième : le calcul de volumes de pyramides et la maîtrise des agrandissements-réductions. Comprendre comment les dimensions d'un objet évoluent lorsqu'on change d'échelle est fondamental, non seulement pour le Brevet, mais aussi pour les futurs cours de physique et de géométrie spatiale. Ici, nous manipulons des solides à base carrée, ce qui simplifie les calculs d'aire de base, mais demande une rigueur particulière dans l'application des formules de proportionnalité.

Analyse Méthodique du Sujet

L'énoncé nous donne les dimensions de la pyramide du Louvre : un côté de base de $35,4$ m et une hauteur de $21,6$ m. On nous précise que c'est une réduction de la pyramide de Khéops, dont le côté mesure $230,5$ m.

1. Détermination de la hauteur de la pyramide de Khéops

Pour répondre à la première question, il faut d'abord identifier le coefficient d'agrandissement (noté souvent $k$). Puisque la pyramide du Louvre est une réduction de celle de Khéops, Khéops est un agrandissement du Louvre. On calcule le rapport entre les côtés correspondants des bases : $k = \frac{230,5}{35,4}$. Ce rapport nous indique combien de fois la pyramide égyptienne est plus grande que sa réplique parisienne. Une fois ce coefficient obtenu (environ $6,511$), on l'applique à la hauteur du Louvre pour trouver celle de Khéops : $H = 21,6 \times k$. Le calcul donne environ $140,6$ m, ce qui valide l'énoncé. La clé ici est de comprendre que dans un agrandissement, toutes les longueurs sont multipliées par le même nombre $k$.

2. Calcul du volume de la pyramide du Louvre

La deuxième question porte sur l'application directe de la formule du volume. Le rappel est généreusement fourni : $V = \frac{\text{Aire de la base} \times \text{hauteur}}{3}$. La base étant un carré, son aire est $35,4 \times 35,4 = 1253,16$ m². On multiplie ensuite par la hauteur ($21,6$ m) et on divise par $3$. Le calcul donne $V \approx 9022,752$ m³. L'énoncé demande un arrondi à l'unité, ce qui donne $9023$ m³. L'erreur classique est d'oublier la division par $3$ ou de ne pas mettre le côté au carré pour l'aire de la base.

3. Le rapport des volumes : La règle du $k^3$

La troisième question est la plus subtile. On nous demande par quel nombre multiplier le volume du Louvre pour obtenir celui de Khéops. Beaucoup d'élèves font l'erreur d'utiliser le coefficient $k$ trouvé à la question 1. Or, une règle d'or en mathématiques stipule que si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$ et les volumes sont multipliés par $k^3$. Le coefficient recherché est donc $(\frac{230,5}{35,4})^3$. En faisant le calcul, on trouve environ $276,4$. Arrondi à l'unité, le multiplicateur est $276$. Cela signifie que la pyramide de Khéops est $276$ fois plus volumineuse que celle du Louvre, bien que ses côtés ne soient que $6,5$ fois plus longs !

Les Pièges à Éviter

Le premier piège est l'unité. Assurez-vous que toutes les mesures sont en mètres avant de calculer le volume en mètres cubes. Le second piège concerne les arrondis intermédiaires. Si vous arrondissez trop tôt le coefficient $k$, votre résultat final pour le volume ou la hauteur pourrait être faussé. Utilisez toujours les valeurs exactes (fractions) dans votre calculatrice jusqu'à la dernière étape. Enfin, ne confondez pas le coefficient de proportionnalité des longueurs avec celui des volumes : c'est l'erreur la plus fréquente au Brevet sur ce chapitre.

Conseils de Rédaction pour l'Examen

Pour obtenir le maximum de points :

1. Citez toujours la formule utilisée (ex: "On sait que le volume d'une pyramide est...").
2. Présentez clairement le calcul du rapport de réduction/agrandissement.
3. Indiquez l'unité de mesure dans votre phrase de conclusion ($m^3$ pour un volume).
4. Soignez l'arrondi : regardez le chiffre des dixièmes pour décider si vous arrondissez à l'unité supérieure ou non.

Une rédaction propre montre au correcteur que vous maîtrisez la logique mathématique au-delà du simple résultat numérique.