Introduction aux concepts d'agrandissement et de réduction

Dans cet exercice issu du Brevet 2019 (Zone Nouvelle-Calédonie), nous abordons l'un des thèmes fondamentaux de la géométrie au cycle 4 : les agrandissements et réductions. Cette notion repose sur la proportionnalité des longueurs. Lorsqu'une figure est l'agrandissement d'une autre, toutes les dimensions sont multipliées par un même coefficient $k > 1$. À l'inverse, s'il s'agit d'une réduction, ce coefficient sera compris entre 0 et 1. La maîtrise de ces transformations est cruciale, car elle impacte non seulement les périmètres, mais aussi les aires (multipliées par $k^2$) et les volumes (multipliés par $k^3$).

Analyse Méthodique de la Question 1 : Le coefficient de proportionnalité

La première étape consiste à identifier les segments homologues, c'est-à-dire les segments qui se correspondent dans la transformation. On nous donne la longueur de la diagonale du petit quadrilatère $ABCD$ ($AC = 80$ cm) et celle du grand quadrilatère $EFGH$ ($GE = 1$ m).
Attention au piège des unités ! Avant tout calcul, il faut convertir les valeurs dans la même unité. Ici, $GE = 1$ m = 100 cm. Le coefficient d'agrandissement $k$ se calcule par le rapport d'une longueur de l'image sur la longueur correspondante de l'objet initial : $k = \frac{GE}{AC}$. En remplaçant par les valeurs numériques, on obtient $k = \frac{100}{80} = 1,25$. Ce résultat confirme bien qu'il s'agit d'un agrandissement puisque $1,25 > 1$.

Analyse Méthodique de la Question 2 : Calcul des longueurs homologues

Pour calculer les longueurs $GH$ et $EF$, il faut observer attentivement le codage sur la figure fournie. Sur le quadrilatère $ABCD$, on remarque des symboles d'égalité (codage par traits). Le côté $AD$ mesure 35 cm et porte un double trait, tout comme le côté $AB$. Ainsi, $AB = 35$ cm. Le côté $CD$ mesure 60 cm et porte un simple trait, tout comme le côté $BC$. Ainsi, $BC = 60$ cm.
Puisque $EFGH$ est un agrandissement de coefficient $k = 1,25$, nous appliquons la formule : $L_{\text{agrandie}} = k \times L_{\text{initiale}}$.
1. Pour $GH$ : Le segment $[GH]$ correspond au segment $[CD]$. Donc $GH = 1,25 \times 60 = 75$ cm.
2. Pour $EF$ : Le segment $[EF]$ correspond au segment $[AB]$. Donc $EF = 1,25 \times 35 = 43,75$ cm.

Analyse Méthodique de la Question 3 : L'effet de l'agrandissement sur les aires

C'est ici que de nombreux élèves commettent une erreur classique. On sait que l'aire de $ABCD$ est de $1950$ cm². Pour trouver l'aire de $EFGH$, il ne faut surtout pas multiplier par $k$, mais par $k^2$. C'est une règle d'or en géométrie : si les longueurs sont multipliées par $k$, les aires sont multipliées par $k^2$.
Calculons d'abord $k^2$ : $1,25^2 = 1,5625$.
Appliquons maintenant ce rapport à l'aire initiale : $\text{Aire}_{EFGH} = 1,5625 \times 1950 = 3046,875$ cm².
L'énoncé demande d'arrondir à l'unité. Le chiffre des dixièmes étant 8 (supérieur ou égal à 5), on arrondit à l'entier supérieur : 3047 cm².

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

Le premier piège est l'oubli de la conversion d'unités. Travailler avec des mètres et des centimètres simultanément conduit inévitablement à un coefficient faux. Le deuxième piège réside dans la confusion entre le coefficient pour les longueurs et celui pour les aires. Souvenez-vous : l'aire est en deux dimensions (cm²), donc le coefficient est au carré ($k^2$). Enfin, l'observation du schéma est primordiale. Les longueurs ne sont pas toutes écrites dans le texte, le codage visuel (traits d'égalité) contient des informations essentielles pour déduire $AB$ et $BC$.

Conseils de Rédaction pour maximiser vos points

Pour obtenir tous les points, structurez votre réponse en trois temps :
1. Citez la propriété ou la formule utilisée (ex: 'Dans un agrandissement de rapport $k$, les aires sont multipliées par $k^2$').
2. Présentez le calcul littéral avant l'application numérique.
3. Concluez par une phrase claire incluant l'unité correcte. Une copie propre, où les étapes de conversion sont visibles, rassure le correcteur sur votre rigueur scientifique.