Introduction aux notions de géométrie dans l'espace et de réduction

L'exercice 2 du sujet de Brevet Asie 2018 est un classique incontournable pour tout élève de troisième. Il combine deux compétences majeures du programme de mathématiques : le calcul de volumes de solides usuels (cylindre et cône de révolution) et l'application d'un coefficient de réduction (échelle). À travers l'exemple concret d'une yourte mongole, cet exercice demande de modéliser une situation réelle par des formes géométriques simples, une compétence fondamentale pour l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de l'énoncé

L'énoncé nous présente deux habitats : un appartement de $35\text{ m}^2$ et une yourte modélisée par un cylindre surmonté d'un cône. Les dimensions fournies sont essentielles : un diamètre total de $7\text{ m}$, une hauteur cylindrique de $2,5\text{ m}$ et une hauteur totale de $4,5\text{ m}$.

Question 1 : Calcul de la surface au sol et comparaison

Pour répondre à la première question, il faut calculer l'aire de la base de la yourte. La base est un disque. L'erreur classique ici serait d'utiliser le diamètre de $7\text{ m}$ dans la formule de l'aire au lieu du rayon.
Le rayon $R$ est égal à $\frac{7}{2} = 3,5\text{ m}$.
En appliquant la formule $\text{Aire} = \pi \times R^2$, nous obtenons :
$\text{Aire} = \pi \times 3,5^2 = 12,25\pi \approx 38,48\text{ m}^2$.
En comparant ce résultat à la surface de l'appartement de Samia ($35\text{ m}^2$), on constate que $38,48 > 35$. La yourte offre donc bien une surface au sol supérieure à celle de l'appartement. Ce type de question teste votre capacité à extraire des données pertinentes d'un schéma complexe.

Question 2 : Calcul du volume total de la yourte

Le volume de la yourte est la somme du volume du cylindre et du volume du cône. C'est un exercice de décomposition de solide.
1. Le volume du cylindre ($V_1$) :
La formule est $V_1 = \pi \times R^2 \times h_1$. Ici, $h_1 = 2,5\text{ m}$.
$V_1 = \pi \times 3,5^2 \times 2,5 = 30,625\pi \approx 96,21\text{ m}^3$.
2. Le volume du cône ($V_2$) :
Attention à la hauteur du cône ($h_2$). Elle n'est pas directement donnée, mais se déduit de la hauteur totale : $h_2 = 4,5 - 2,5 = 2\text{ m}$.
La formule est $V_2 = \frac{1}{3} \pi \times R^2 \times h_2$.
$V_2 = \frac{1}{3} \times \pi \times 3,5^2 \times 2 = \frac{24,5}{3}\pi \approx 25,66\text{ m}^3$.
3. Volume total :
$V_{total} = V_1 + V_2 = 30,625\pi + 8,166\pi \approx 121,87\text{ m}^3$.
Pensez toujours à donner une valeur exacte en fonction de $\pi$ avant d'arrondir, cela montre votre rigueur mathématique au correcteur.

Question 3 : L'échelle et la réduction de la maquette

La réduction est une application directe de la proportionnalité. Samia réalise une maquette à l'échelle $k = \frac{1}{25}$. Cela signifie que toutes les longueurs réelles sont multipliées par ce coefficient pour obtenir les dimensions de la maquette.
La hauteur totale réelle est de $4,5\text{ m}$. Pour faciliter le calcul et obtenir un résultat cohérent, convertissons cette hauteur en centimètres : $4,5\text{ m} = 450\text{ cm}$.
La hauteur de la maquette est donc : $H_{maquette} = 450 \times \frac{1}{25} = 18\text{ cm}$.
Il est crucial de se rappeler que si l'échelle s'applique directement aux longueurs ($k$), elle s'applique au carré pour les aires ($k^2$) et au cube pour les volumes ($k^3$). Ici, s'agissant d'une hauteur (longueur), le coefficient simple suffit.

Les Pièges à éviter le jour de l'épreuve

1. **Confondre rayon et diamètre** : C'est la source d'erreur numéro 1. Prenez le réflexe de noter immédiatement $R = 3,5$ sur votre brouillon.
2. **Oublier le 1/3 pour le cône** : Le volume du cône est le tiers de celui d'un cylindre de même base et même hauteur. Ne l'oubliez pas dans votre calculatrice.
3. **Les unités** : Vérifiez que toutes vos mesures sont dans la même unité (mètres ici) avant de multiplier. Pour la maquette, le passage en cm évite les nombres décimaux trop petits ($0,18\text{ m}$ est juste mais moins parlant que $18\text{ cm}$).
4. **La hauteur du cône** : Ne prenez pas $4,5\text{ m}$ pour le cône ! Soustrayez toujours la partie cylindrique.

Conseils de rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Citez les formules utilisées (ex : "On sait que le volume d'un cône est donné par...").
- Détaillez vos étapes de calcul. Même si le résultat final est faux, une démarche correcte rapporte une grande partie des points.
- Encadrez ou soulignez vos résultats finaux.
- N'oubliez pas les unités dans la conclusion de chaque question ($m^2$, $m^3$, $cm$).