Introduction aux Statistiques et aux Calculs de Pourcentages

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2018 en Polynésie est un pilier de l'épreuve de mathématiques pour les élèves de 3ème. Il combine deux piliers fondamentaux du programme : la gestion des données (statistiques) et la compréhension des évolutions (pourcentages). Dans cet exercice, nous étudions la vie d'un club omnisport, ce qui permet d'ancrer les mathématiques dans un contexte concret et professionnel. Maîtriser ces notions est essentiel, car elles représentent souvent entre 10 et 15 % des points totaux lors de l'examen final.

Analyse Méthodique : La Dynamique des Évolutions

La première partie de l'exercice porte sur l'évolution du nombre d'adhérents. On part d'une valeur initiale de \(1000\) adhérents en 2010. Pour la question 1.a, il faut appliquer une augmentation de \(10\,\%\). La méthode la plus efficace consiste à utiliser le coefficient multiplicateur. Augmenter une valeur de \(10\,\%\) revient à la multiplier par \(1 + \frac{10}{100} = 1,10\). Le calcul \(1000 \times 1,10\) nous donne immédiatement \(1100\) adhérents au 31 décembre 2012. Il est crucial pour l'élève de rédiger correctement cette étape en explicitant le calcul du pourcentage.

Pour la question 1.b, la difficulté augmente légèrement car l'augmentation de \(5\,\%\) s'applique sur le nouveau total de 2012, et non sur le total initial de 2010. C'est le principe des évolutions successives. On prend donc les \(1100\) adhérents et on applique le coefficient \(1,05\). Le calcul \(1100 \times 1,05\) aboutit à \(1155\) adhérents fin 2015. Cette progression illustre parfaitement pourquoi il faut toujours identifier la 'valeur de départ' de chaque période d'évolution.

L'Erreur Classique : Le Mythe de l'Addition des Pourcentages

La question 1.c est une question de réflexion critique qui revient quasiment chaque année au Brevet. Martine pense que \(10\,\% + 5\,\% = 15\,\%\). C'est une erreur fondamentale. En mathématiques, deux augmentations successives ne s'additionnent pas, elles se multiplient. Si l'on avait augmenté de \(15\,\%\) dès le départ, nous aurions eu \(1000 \times 1,15 = 1150\). Or, nous avons trouvé \(1155\). La différence vient du fait que les \(5\,\%\) de la seconde période s'appliquent aussi sur les \(100\) nouveaux adhérents gagnés lors de la première période. On appelle cela les intérêts composés dans le monde de la finance. Pour justifier, l'élève doit comparer les deux résultats (\(1155\) vs \(1150\)) et conclure que l'affirmation de Martine est fausse car l'augmentation globale est de \(15,5\,\%\) (\(1,10 \times 1,05 = 1,155\)).

Analyse Statistique : De l'Effectif au Diagramme Circulaire

La seconde partie bascule sur l'analyse d'un effectif de \(1260\) adhérents en 2017. Le tableau de répartition par sport (Planche à voile, Beach volley, Surf) demande de jongler avec la proportionnalité. Pour compléter la colonne des angles, il faut se rappeler que le total d'un cercle est de \(360\) degrés. Le coefficient de proportionnalité se calcule en faisant \(\frac{360}{1260} \approx 0,2857\). Cependant, il est plus précis d'utiliser la règle de trois (produit en croix). Pour la Planche à voile : \(\frac{392 \times 360}{1260} = 112\) degrés. Pour le Beach volley : \(\frac{224 \times 360}{1260} = 64\) degrés. Pour le Surf : \(\frac{644 \times 360}{1260} = 184\) degrés. Une vérification simple consiste à additionner les trois angles : \(112 + 64 + 184 = 360\). Si le total n'est pas \(360\), une erreur s'est glissée dans vos calculs.

Fréquences et Représentation Graphique

La colonne des fréquences en pourcentage suit la même logique de proportionnalité, mais cette fois sur une base de \(100\). La fréquence est le rapport de l'effectif sur le total, multiplié par \(100\). Par exemple, pour le Surf : \(\frac{644}{1260} \times 100 \approx 51,1\,\%\). Le diagramme circulaire de rayon 4 cm doit être tracé avec précision au compas et au rapporteur. Chaque secteur doit correspondre à l'angle calculé précédemment. N'oubliez pas de nommer chaque secteur et de donner un titre au diagramme pour obtenir tous les points de présentation.

Les Pièges à Éviter au Brevet

1. **L'oubli des unités** : Ne confondez pas l'effectif (nombre d'adhérents) avec l'angle (degrés) ou la fréquence (pourcentage).
2. **La précision du tracé** : Un angle de \(184\) degrés est un angle rentrant. Soyez vigilants lors de l'utilisation du rapporteur.
3. **L'arrondi** : Lisez bien la consigne pour savoir si vous devez arrondir à l'unité ou au dixième. Dans le doute, gardez deux décimales pour vos calculs intermédiaires.
4. **La confusion de base** : Toujours vérifier sur quelle valeur on applique un pourcentage. En 2015, on applique les \(5\,\%\) sur les adhérents de 2012, pas sur ceux de 2010.

Conseils de Rédaction pour Maximiser vos Points

Pour chaque question, commencez par citer la formule ou la méthode utilisée. Par exemple : "Je calcule le coefficient multiplicateur correspondant à une hausse de 10%". Présentez vos produits en croix de manière claire dans le tableau ou juste en dessous. Une copie propre, où les résultats sont encadrés et les phrases de conclusion sont explicites, facilite énormément le travail du correcteur. Mentionnez explicitement : "D'après le calcul précédent, le nombre d'adhérents est de 1155, ce qui est différent de 1150. Martine a donc tort." C'est cette rigueur logique qui différencie une bonne copie d'une excellente copie.