Introduction aux notions clés du sujet

Cet exercice, issu de l'épreuve du Brevet des Collèges 2018 pour la zone Amérique du Sud (Exercice 4), est un modèle type de ce que l'on appelle la prise d'initiatives en mathématiques. Il ne s'agit pas simplement d'appliquer une formule isolée, mais de construire une stratégie de résolution en plusieurs étapes pour répondre à une question ouverte : « Valentin a-t-il fait un choix adapté ? ». Les notions mobilisées sont fondamentales pour le programme de 3ème : l'utilisation des ratios (format 16/9), le théorème de Pythagore pour le calcul d'une diagonale, et la lecture graphique interprétative. L'élève doit faire preuve de rigueur dans ses conversions d'unités et dans l'enchaînement logique de ses calculs.

Analyse méthodique de l'énoncé

L'exercice nous présente un problème de la vie quotidienne : l'achat d'un téléviseur. Trois informations cruciales sont fournies. L'Information 1 nous donne la distance de recul dans le salon (3,20 m). L'Information 2 définit la relation géométrique entre la largeur et la hauteur de l'écran (le format 16/9). Enfin, l'Information 3 est un graphique complexe présentant deux droites représentant les distances minimale et maximale recommandées en fonction de la diagonale de l'écran. La difficulté majeure ici réside dans le fait que le graphique utilise la diagonale en abscisse, alors que nous ne connaissons initialement que la hauteur de l'écran (60 cm). La stratégie doit donc être la suivante : 1. Calculer la largeur. 2. Calculer la diagonale. 3. Comparer avec le graphique.

Étape 1 : Calcul de la largeur de l'écran

Le format de l'écran est de 16/9. Cela signifie que le rapport entre la largeur (L) et la hauteur (H) est constant. La formule donnée est : $Largeur = \dfrac{16}{9} \times Hauteur$. En remplaçant par la valeur connue de la hauteur, nous obtenons : $L = \dfrac{16}{9} \times 60$. En effectuant le calcul, $16 \times 60 = 960$, puis $960 / 9 \approx 106,67$ cm. Il est conseillé de garder la valeur exacte sous forme de fraction $\frac{960}{9}$ ou de conserver plusieurs décimales pour ne pas fausser le calcul suivant de la diagonale.

Étape 2 : Application du Théorème de Pythagore

Un écran de télévision est un rectangle. La hauteur, la largeur et la diagonale forment donc un triangle rectangle. Pour trouver la longueur de la diagonale (D), nous devons utiliser le théorème de Pythagore. Dans ce triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse (la diagonale) est égal à la somme des carrés des deux autres côtés (hauteur et largeur). L'équation s'écrit : $D^2 = H^2 + L^2$. En remplaçant par nos valeurs : $D^2 = 60^2 + (\frac{960}{9})^2$. Ce qui donne $D^2 = 3600 + 11377,77... \approx 14977,77$. Pour obtenir la diagonale, on utilise la racine carrée : $D = \sqrt{14977,77} \approx 122,38$ cm. La diagonale du téléviseur est donc d'environ 122 cm. Cette étape est cruciale car elle fait le pont entre les dimensions physiques de l'appareil et les données du graphique de l'Information 3.

Étape 3 : Interprétation graphique et conclusion

Maintenant que nous connaissons la diagonale (environ 122 cm), nous devons nous reporter au graphique. Sur l'axe des abscisses (longueur de la diagonale en cm), nous repérons la valeur 122. En montant verticalement, nous croisons les deux droites représentatives. Pour une diagonale de 122 cm, la distance minimale se situe aux alentours de 210 cm et la distance maximale aux alentours de 420 cm. Le salon de Valentin offre une distance écran-téléspectateur de 3,20 m, soit 320 cm. Comme 210 < 320 < 420, la distance de 320 cm se trouve bien dans la zone de confort (entre la distance minimale et maximale). La réponse finale est donc : Oui, Valentin a fait un choix adapté pour son salon.

Les pièges classiques à éviter

Plusieurs erreurs peuvent coûter cher lors de cette épreuve. Premièrement, l'oubli de la conversion d'unités : mélanger les mètres (3,20 m) et les centimètres (60 cm) dans un calcul ou sur un graphique est une erreur fréquente. Deuxièmement, la confusion sur le théorème de Pythagore : certains élèves oublient d'élever les valeurs au carré ou de prendre la racine carrée à la fin. Enfin, la précision du graphique : il faut être très soigneux lors du report de la valeur 122 sur l'axe des abscisses. Une lecture imprécise pourrait mener à une conclusion erronée, bien que les correcteurs valorisent souvent la démarche logique (« la trace de recherche ») même si le résultat final est légèrement décalé.

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Pour obtenir le maximum de points sur une question de « prise d'initiative », structurez votre réponse clairement. Commencez par annoncer votre plan : « Je vais d'abord calculer la largeur, puis la diagonale pour enfin utiliser le graphique ». Citez explicitement le théorème de Pythagore et précisez que vous l'utilisez car l'écran est rectangulaire (donc présence d'un angle droit). Pour la partie graphique, n'hésitez pas à tracer des pointillés sur votre sujet ou à décrire précisément votre lecture : « Pour une abscisse de 122, je lis une ordonnée comprise entre... ». Enfin, concluez par une phrase claire qui répond directement à la question posée initialement. N'oubliez pas que même si vous n'arrivez pas au bout, écrire vos formules et vos idées de conversion vous rapportera des points de recherche.