Introduction aux probabilités au Brevet des Collèges
Le sujet de Pondichéry 2018, et particulièrement son premier exercice, constitue une base de révision idéale pour tout élève de troisième souhaitant consolider ses connaissances en probabilités. Cette notion, centrale dans le programme de mathématiques, repose sur l'analyse d'expériences aléatoires. Ici, nous étudions un plateau tournant de 13 cases, ce qui nous permet d'aborder les concepts d'équiprobabilité, de dénombrement et d'indépendance des événements. L'objectif pédagogique est double : maîtriser le calcul fractionnaire des chances et savoir identifier des propriétés numériques spécifiques comme les nombres impairs ou les nombres premiers dans un contexte aléatoire.
Analyse de l'énoncé : L'équiprobabilité
L'expérience consiste à lancer une boule sur un plateau de 13 cases numérotées de 0 à 12. La donnée fondamentale fournie par l'énoncé est la suivante : « La boule a la même probabilité de s'arrêter sur chaque case ». En mathématiques, cela s'appelle une situation d'équiprobabilité. Pour calculer la probabilité d'un événement, nous utilisons la formule de Laplace : \( P(A) = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}} \). Ici, le nombre total d'issues est de 13 (attention à bien compter le 0, il y a bien 13 nombres de 0 à 12).
Question 1 : Probabilité d'obtenir la case 8
Dans cette première question, on cherche la probabilité que la boule s'arrête sur une case précise, la numéro 8. Il n'y a qu'une seule case portant ce numéro sur le plateau. Le nombre d'issues favorables est donc 1. Puisque le nombre total d'issues est 13, la probabilité est de \( \frac{1}{13} \). Pour la rédaction au Brevet, il est conseillé de préciser : « Il y a 13 cases au total et une seule porte le numéro 8. La probabilité est donc de 1/13 ». Il n'est pas nécessaire de donner une valeur décimale approchée sauf si l'énoncé le demande explicitement.
Question 2 : Probabilité d'obtenir un nombre impair
Pour répondre à cette question, l'élève doit d'abord lister les issues qui réalisent l'événement « obtenir un nombre impair » parmi les entiers de 0 à 12. Les nombres impairs sont : 1, 3, 5, 7, 9, 11. Il est crucial de noter que 0 est un nombre pair. En comptant, nous trouvons 6 issues favorables. En appliquant la formule, nous obtenons : \( P(\text{impair}) = \frac{6}{13} \). C'est une fraction irréductible car 13 est un nombre premier. Cette question évalue la capacité de l'élève à trier des données numériques sous pression.
Question 3 : Le piège des nombres premiers
La question des nombres premiers est souvent la plus discriminante dans cet exercice. Un nombre premier est un entier naturel qui possède exactement deux diviseurs distincts : 1 et lui-même. Listons les nombres premiers entre 0 et 12 :
- 0 n'est pas premier (il a une infinité de diviseurs).
- 1 n'est pas premier (il n'a qu'un seul diviseur).
- 2 est le seul nombre premier pair.
- 3, 5, 7, 11 sont les suivants.
Les issues favorables sont donc {2, 3, 5, 7, 11}, soit un total de 5 issues. La probabilité est donc \( P(\text{premier}) = \frac{5}{13} \). L'erreur classique consiste à inclure le chiffre 1 dans la liste, ce qui fausse le résultat final.
Question 4 : L'indépendance et le hasard sans mémoire
La dernière question porte sur un concept fondamental mais souvent mal compris : l'indépendance des événements. L'énoncé indique que la boule est tombée sur le 9 lors des deux lancers précédents. Un élève pourrait être tenté de croire que le 9 a « plus de chances » de sortir encore (loi des séries) ou au contraire « moins de chances » (loi de compensation). Or, chaque lancer est indépendant. Le plateau ne possède pas de « mémoire ». La probabilité de tomber sur le 9 reste \( \frac{1}{13} \) et celle de tomber sur le 7 reste également \( \frac{1}{13} \). On a donc exactement autant de chances de tomber sur l'un ou sur l'autre. L'argumentation doit reposer sur le fait que les conditions de l'expérience ne changent pas d'un lancer à l'autre.
Conseils de rédaction et pièges à éviter
Pour maximiser ses points lors de l'épreuve de mathématiques, il faut soigner la présentation. Utilisez toujours des phrases pour introduire vos calculs. Par exemple : « L'univers comporte 13 issues possibles. » Si vous donnez un résultat sous forme de fraction, assurez-vous qu'elle soit irréductible (même si ici, 13 étant premier, les fractions 1/13, 6/13 et 5/13 le sont déjà). Attention à ne pas confondre « chiffre » et « nombre », et surtout, gardez en tête que le dénominateur représente l'ensemble des possibles. Un oubli du chiffre 0 dans le décompte total transformerait votre dénominateur en 12, ce qui rendrait l'intégralité de l'exercice faux. Relisez toujours la liste des nombres premiers avant l'examen, c'est un point de cours qui revient très fréquemment dans les sujets de type Brevet.