Introduction aux Probabilités et à l'Arithmétique au Brevet

L'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB) exige une polyvalence certaine. Ce sujet de 2018, provenant de la zone Amérique du Nord, combine deux piliers du programme de troisième : les probabilités et l'arithmétique. L'exercice repose sur une expérience aléatoire à deux étapes : le tirage successif d'un chiffre pour les dizaines, puis d'un chiffre pour les unités, afin de former un nombre entier. Cette situation permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser un univers de possibles (univers $\Omega$) et à manipuler les notions de nombres pairs, impairs et premiers.

Analyse méthodique de l'expérience aléatoire

La première étape cruciale pour réussir cet exercice est de comprendre la structure de l'expérience. On tire une boule dans l'urne D (contenant les chiffres 1, 2 et 3) et une boule dans l'urne U (contenant les chiffres 2, 3, 5 et 6). Pour bien visualiser la situation, il est fortement recommandé de construire un arbre de probabilités ou un tableau à double entrée. Puisqu'il y a 3 choix pour les dizaines et 4 choix pour les unités, le nombre total d'issues possibles est de $3 \times 4 = 12$.

Les nombres que l'on peut former sont les suivants :
• Dizaine 1 : 12, 13, 15, 16
• Dizaine 2 : 22, 23, 25, 26
• Dizaine 3 : 32, 33, 35, 36

Question 1 : Comparaison des probabilités de parité

La question nous demande si l'on a plus de chances d'obtenir un nombre pair ou impair. Rappelons qu'un nombre est pair si son chiffre des unités est 2, 4, 6, 8 ou 0. Ici, la parité du nombre formé dépend uniquement de la boule tirée dans l'urne U. Examinons le contenu de l'urne U : elle contient les boules {2, 3, 5, 6}.
• Chiffres pairs dans U : 2 et 6 (soit 2 boules sur 4).
• Chiffres impairs dans U : 3 et 5 (soit 2 boules sur 4).
Puisque chaque boule a la même probabilité d'être tirée (équiprobabilité), nous avons 6 issues paires (12, 16, 22, 26, 32, 36) et 6 issues impaires (13, 15, 23, 25, 33, 35). La probabilité est donc de $6/12 = 1/2$ dans les deux cas. On a donc autant de chances de former un nombre pair qu'un nombre impair.

Question 2 : Focus sur les nombres premiers

Cette partie fait appel à vos connaissances en arithmétique. Un nombre premier est un nombre qui n'admet que deux diviseurs distincts : 1 et lui-même.
a) Identification : Parmi les 12 nombres listés précédemment, identifions les nombres premiers :
- 12 (divisible par 2), 13 (Premier), 15 (divisible par 3), 16 (divisible par 2).
- 22 (divisible par 2), 23 (Premier), 25 (divisible par 5), 26 (divisible par 2).
- 32 (divisible par 2), 33 (divisible par 3), 35 (divisible par 5), 36 (divisible par 2).
Les nombres premiers possibles sont donc 13 et 23.
b) Justification du calcul : Nous avons identifié 2 cas favorables (13 et 23) sur un total de 12 cas possibles. La probabilité $P$ est donnée par le rapport : $P = \frac{\text{Nombre d'issues favorables}}{\text{Nombre d'issues totales}}$. Soit $P = \frac{2}{12}$. En simplifiant la fraction par 2, on obtient bien $P = \frac{1}{6}$.

Question 3 : Inversion du raisonnement de probabilité

Ice, on doit définir un événement dont la probabilité est $1/3$. Mathématiquement, cela signifie que nous cherchons un événement qui regroupe un nombre $n$ d'issues tel que $n/12 = 1/3$. En effectuant un produit en croix ($12 \times 1 / 3$), on trouve $n = 4$. Il nous faut donc trouver une caractéristique commune à exactement 4 nombres parmi notre liste de 12.
Plusieurs réponses sont acceptables :
1. L'événement « Le chiffre des dizaines est 1 » : Il correspond aux nombres {12, 13, 15, 16}.
2. L'événement « Le chiffre des unités est 2 » : Il correspond aux nombres {12, 22, 32}. (Attention, ici il n'y en a que 3, ce n'est pas bon !).
3. L'événement « Le nombre est un multiple de 3 » : Vérifions les multiples de 3 : 12 ($3 \times 4$), 15 ($3 \times 5$), 33 ($3 \times 11$) et 36 ($3 \times 12$). Cet événement contient 4 issues. Sa probabilité est donc bien $4/12 = 1/3$.

Les pièges classiques à éviter

Attention à ne pas confondre le chiffre des unités et celui des dizaines. Une erreur fréquente consiste à additionner le nombre de boules dans les deux urnes ($3+4=7$) au lieu de multiplier les possibilités pour trouver le dénominateur. De plus, n'oubliez pas que le chiffre 1 n'est pas un nombre premier (il n'a qu'un seul diviseur). Enfin, pour la question 3, vérifiez toujours votre liste exhaustivement pour être sûr que votre événement contient exactement 4 issues et non 3 ou 5.

Conseils de rédaction pour le jour J

Pour obtenir le maximum de points :
1. Annoncez l'univers : "Il y a $3 \times 4 = 12$ issues possibles car l'expérience est composée de deux tirages indépendants."
2. Citez la formule : Écrivez toujours la formule de Laplace (cas favorables / cas possibles).
3. Simplifiez : Ne laissez jamais une fraction non simplifiée si l'énoncé vous donne une cible (comme $1/6$ ou $1/3$).
4. Rédigez une phrase de conclusion : Répondez clairement à la question posée par une phrase affirmative.