Introduction aux Grandeurs Composées et à la Géométrie

Cet exercice issu du sujet du Brevet 2018 en Polynésie est un excellent support pour réviser deux piliers du programme de 3ème : le calcul de périmètres complexes et la gestion des grandeurs composées, en l'occurrence la vitesse moyenne. L'enjeu ici n'est pas seulement d'appliquer des formules, mais de décoder un schéma géométrique (modélisation) pour en extraire des données numériques exploitables. Nous allons voir comment transformer des arcs de cercle et des segments de droite en une distance totale pour ensuite comparer des performances sportives.

Analyse Méthodique du Parcours de la Fille

Pour répondre à la première question, il est impératif de décomposer le trajet de la fille (de F vers A). Le schéma nous montre que ce parcours est constitué de trois segments de droite et de deux demi-cercles. L'observation des codages est capitale : les symboles '|||' indiquent que les segments [EF], [CD] et [AB] ont la même longueur. Le texte nous précise que le segment supérieur mesure 60 m. On en déduit donc que la partie rectiligne totale est de $3 \times 60 = 180$ mètres.

Ensuite, il faut traiter la partie courbe. Le parcours comporte deux demi-cercles de rayon $r = 5$ m. Mathématiquement, deux demi-cercles identiques forment un cercle complet. En utilisant la formule rappelée dans l'énoncé $p = 2 \times \pi \times r$, nous obtenons $p = 2 \times \pi \times 5 = 10\pi$. En prenant une approximation de $\pi \approx 3,14159$, la distance courbe est d'environ 31,42 mètres. La distance totale parcourue par la fille est donc $180 + 10\pi \approx 211,42$ mètres. En comparaison, le garçon parcourt une ligne droite de G vers A qui mesure 200 mètres. Le parcours de la fille est donc le plus long.

Analyse de la Vitesse Moyenne (Grandeurs Composées)

La deuxième question nous demande de comparer la rapidité. C'est ici qu'intervient la notion de grandeur composée : la vitesse. La formule fondamentale à maîtriser est $v = \frac{d}{t}$. Attention, pour comparer deux vitesses, il faut s'assurer d'utiliser les mêmes unités. Ici, les distances sont en mètres (m) et les temps en secondes (s), nous obtiendrons donc des vitesses en mètres par seconde (m/s).

Calculons la vitesse du garçon ($v_G$) : il parcourt 200 m en 28 s. Donc $v_G = \frac{200}{28} \approx 7,14$ m/s. Calculons maintenant la vitesse de la fille ($v_F$) : elle parcourt environ 211,42 m en 28,5 s. On obtient $v_F = \frac{180 + 10\pi}{28,5} \approx 7,42$ m/s. En comparant les deux résultats ($7,42 > 7,14$), on conclut que la fille se déplace le plus vite, bien qu'elle ait mis plus de temps au total, car la distance qu'elle a franchie est proportionnellement plus importante.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège classique est l'oubli d'une partie du parcours. Beaucoup d'élèves oublient de multiplier par 3 les segments marqués '|||'. Le second piège concerne la gestion du nombre $\pi$. Il ne faut jamais arrondir trop tôt dans les calculs. Conservez la valeur exacte $10\pi$ jusqu'à l'étape finale pour éviter des erreurs d'approximation qui pourraient fausser la comparaison des vitesses. Enfin, ne confondez pas 'arriver le premier' (temps le plus court) et 'aller le plus vite' (vitesse la plus élevée). Le garçon arrive avant la fille, mais c'est elle qui a la vitesse moyenne la plus haute.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez votre réponse en trois étapes. D'abord, énoncez la formule que vous allez utiliser (ex: 'Je sais que le périmètre d'un cercle est $P = 2\pi r$'). Ensuite, présentez vos calculs clairement en isolant chaque étape (distance d'un côté, temps de l'autre). Enfin, terminez par une phrase de conclusion qui répond précisément à la question posée, en n'oubliant pas les unités. Une copie aérée et logique montre au correcteur que vous maîtrisez la démarche scientifique au-delà du simple résultat numérique.