Introduction aux notions de géométrie du Brevet

L'exercice 7 du sujet de Brevet 2018 en Polynésie est un sujet de synthèse particulièrement complet. Il mobilise trois piliers du programme de mathématiques de 3ème : le calcul de périmètres, le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. L'objectif est de résoudre deux situations concrètes liées à l'aménagement d'une piscine. Ce type d'exercice est fréquent à l'examen car il demande à l'élève non seulement de maîtriser les formules, mais aussi de savoir extraire des informations pertinentes d'un énoncé complexe et d'un schéma.

Analyse de la 1ère partie : Périmètre et Pythagore

La première problématique concerne la pose d'une frise décorative. Mathématiquement, calculer la longueur de cette frise revient à calculer le périmètre de la forme grisée. La difficulté réside dans le fait que certaines longueurs ne sont pas données directement.

D'abord, identifions les segments horizontaux et verticaux. Le quadrilatère ACFH étant un rectangle, nous savons que les côtés opposés sont égaux : $AC = FH = 10$ m et $AH = CF = 4$ m. Pour trouver le segment [AB], on soustrait : $AB = AC - BC = 10 - 2 = 8$ m. De même, pour le côté opposé, $GH = FH - FG = 10 - 2 = 8$ m. Le petit segment vertical au milieu, [DE], se calcule par soustraction sur le segment [CF] : $DE = CF - (CD + EF) = 4 - (1,5 + 1,5) = 1$ m.

Le point crucial est le calcul des segments obliques [BD] et [EG]. Pour cela, le théorème de Pythagore est indispensable. Dans le triangle BCD rectangle en C, on a : $BD^2 = BC^2 + CD^2$. En remplaçant par les valeurs : $BD^2 = 2^2 + 1,5^2 = 4 + 2,25 = 6,25$. On en déduit que $BD = \sqrt{6,25} = 2,5$ m. Par symétrie ou calcul identique dans le triangle EFG, on trouve $EG = 2,5$ m. Enfin, la longueur totale de la frise est la somme de tous les côtés : $AB + BD + DE + EG + GH + HA = 8 + 2,5 + 1 + 2,5 + 8 + 4 = 26$ m.

Analyse de la 2ème partie : Le Théorème de Thalès

La seconde partie porte sur l'installation d'une voile d'ombrage. On cherche la longueur de la fermeture éclair, représentée par le segment [LN]. Le schéma nous place dans une configuration classique du théorème de Thalès (configuration en triangle).

Pour appliquer ce théorème, il est impératif de vérifier les conditions de rédaction. On sait que les points K, L, M d'une part et K, N, O d'autre part sont alignés. De plus, l'énoncé précise que LMON est un trapèze de bases [LN] et [MO], ce qui implique que les droites (LN) et (MO) sont parallèles. Les conditions sont réunies.

Selon le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $KL/KM = KN/KO = LN/MO$. Attention ici à ne pas utiliser LM au dénominateur ! On calcule d'abord $KM = KL + LM = 5 + 3,5 = 8,5$ m. En utilisant le rapport connu, on pose l'égalité : $5 / 8,5 = LN / 10,2$. Par un produit en croix, on obtient : $LN = (5 \times 10,2) / 8,5 = 51 / 8,5 = 6$ m. La fermeture éclair mesure donc exactement 6 mètres.

Les pièges à éviter lors de l'examen

Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points sur ce type d'exercice. Premièrement, dans la partie 1, beaucoup d'élèves oublient de calculer le segment [DE] ou se trompent dans la soustraction. Deuxièmement, lors de l'application de Pythagore, n'oubliez jamais de préciser que le triangle est rectangle et de nommer l'hypoténuse. Enfin, pour Thalès, l'erreur la plus fréquente est de prendre le segment $LM$ (3,5 m) au lieu de la longueur totale du côté du grand triangle $KM$ (8,5 m). Vérifiez toujours que vos rapports partent bien du même sommet commun (ici le point K).

Conseils de rédaction pour maximiser ses points

Le correcteur attend une structure rigoureuse. Pour Pythagore, commencez par : 'Dans le triangle BCD rectangle en C, d'après le théorème de Pythagore...'. Pour Thalès, citez impérativement le parallélisme des droites. Ne négligez pas la phrase de conclusion avec l'unité (mètres, dans ce cas). Un schéma annoté au brouillon peut grandement vous aider à ne pas oublier de segments dans le calcul du périmètre total. Ces détails font souvent la différence entre une mention et une réussite simple au Brevet des collèges.