Introduction aux épreuves de mathématiques du Brevet

L'exercice 7 du sujet de Nouvelle-Calédonie 2018 est un format classique de type 'Vrai/Faux' avec justification. Ce type d'exercice est crucial car il ne se contente pas de tester des capacités de calcul, mais évalue la rigueur du raisonnement logique et la capacité de rédaction de l'élève. Les thématiques abordées ici mêlent la géométrie plane (calcul d'aires avec variables) et l'arithmétique élémentaire (dénombrement systématique). Dans le cadre de la préparation au Diplôme National du Brevet (DNB), maîtriser ces notions de base est indispensable pour sécuriser des points rapidement. L'usage des grandeurs composées et de la modélisation algébrique est au cœur du programme de 3ème.

Analyse de l'Affirmation 1 : Géométrie et Calcul Littéral

La première affirmation nous présente une figure géométrique composée d'un grand carré dont on a extrait un plus petit carré central. L'objectif est de vérifier si l'expression algébrique proposée pour l'aire de la partie grise est correcte. Pour réussir cette question, l'élève doit mobiliser ses connaissances sur le calcul d'aire. L'aire d'un carré de côté $c$ est donnée par la formule $A = c \times c = c^2$.

Ici, nous observons deux structures :
1. Un grand carré extérieur. Les codages sur la figure et la cote indiquée nous informent que son côté mesure 6 unités (vraisemblablement des centimètres, bien que l'unité ne change pas la forme littérale). Son aire totale est donc de $6^2 = 36$.
2. Un petit carré blanc intérieur. Le codage indique que ses quatre côtés sont égaux et sa largeur est notée $x$. Son aire est donc $x \times x = x^2$.

La partie grise correspond à la surface restante du grand carré après avoir 'découpé' le petit carré blanc. Mathématiquement, cela se traduit par une soustraction d'aires : $Aire_{grise} = Aire_{totale} - Aire_{blanche}$. En remplaçant par les valeurs trouvées, on obtient $36 - x^2$. L'affirmation 1 est donc VRAIE. Ce type de modélisation est fondamental car il prépare aux identités remarquables et à la factorisation de la forme $a^2 - b^2$, que l'élève rencontrera souvent au lycée.

Analyse de l'Affirmation 2 : Dénombrement et Logique

La seconde affirmation porte sur le dénombrement du chiffre 8 dans la suite des nombres entiers de 1 à 100. C'est un exercice de logique pure qui demande de la méthode pour ne pas oublier d'occurrences. Une erreur classique consiste à compter les nombres contenant le chiffre 8 plutôt que le nombre de fois où le chiffre lui-même est écrit.

Listons méthodiquement les occurrences :
- Dans les unités : 8, 18, 28, 38, 48, 58, 68, 78, 88, 98 (soit 10 fois).
- Dans les dizaines (la série des 80) : 80, 81, 82, 83, 84, 85, 86, 87, 88, 89 (soit 10 fois).

Attention au piège du nombre 88 ! Il contient deux fois le chiffre 8. En faisant la somme, nous avons 10 (unités) + 10 (dizaines) = 20. L'affirmation 2 est donc VRAIE. L'élève doit être particulièrement vigilant lors de l'énumération pour ne pas compter '88' comme une seule unité, car la question porte sur le 'chiffre' écrit et non sur le 'nombre' d'entiers.

Les Pièges à éviter au Brevet

Sur ce type d'exercice, les erreurs les plus fréquentes sont liées à l'inattention. Pour l'affirmation 1, certains élèves pourraient essayer de calculer l'aire en additionnant des rectangles périphériques. Bien que possible, cette méthode est beaucoup plus longue et source d'erreurs de calcul littéral. Il est toujours préférable de privilégier la méthode par soustraction pour les surfaces évidées. Concernant l'affirmation 2, le piège majeur reste le nombre 88. Beaucoup d'élèves répondent '19' car ils oublient que 88 'consomme' deux chiffres 8. Une autre erreur serait d'oublier la dizaine complète des 80 (de 80 à 89).

Conseils de rédaction pour l'examen

Pour obtenir le maximum de points, la justification ne doit pas être négligée. Ne vous contentez pas d'écrire 'Vrai'.
1. Pour la géométrie : Citez la formule utilisée ($c^2$), montrez le détail de la soustraction et concluez clairement par l'égalité avec l'énoncé.
2. Pour le dénombrement : La meilleure justification consiste à lister explicitement les nombres ou à expliquer la répartition entre les unités et les dizaines. Une rédaction claire prouve au correcteur que vous n'avez pas répondu au hasard. Rappelez-vous que dans un 'Vrai/Faux', une réponse correcte sans justification ne rapporte souvent aucun point.