Introduction aux notions de fonctions et de proportionnalité au Brevet

Cet exercice du Brevet 2018, tombé en Nouvelle-Calédonie, est un classique incontournable qui mobilise trois piliers du programme de 3ème : la proportionnalité, l'étude des fonctions linéaires et la notion de vitesse. À travers la comparaison de deux nageurs, cet énoncé demande de passer d'une représentation graphique à une expression algébrique, tout en testant la capacité de l'élève à extraire des informations d'un repère orthogonal. Comprendre ces concepts est essentiel car ils représentent environ 15 % des points de l'épreuve finale de mathématiques.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Maîtriser la lecture graphique

La première question est purement descriptive. Pour le nageur 1, la lecture se fait sur les axes : l'axe des abscisses représente le temps en minutes (noté $x$) et l'axe des ordonnées la distance en mètres (noté $y$).
Pour la question (a), il suffit de repérer le point final de la courbe : il correspond à $x = 45$ et $y = 2000$. La distance totale est donc de $2000$ mètres. Pour la question (b), on cherche l'antécédent de $200$ : en se plaçant à $200$ sur l'axe vertical, on intercepte la courbe à $x = 5$. Il a fallu $5$ minutes.

2. Justifier la non-proportionnalité

La question 2 est un point de cours fondamental. En 3ème, on apprend que deux grandeurs sont proportionnelles si et seulement si leur représentation graphique est une droite passant par l'origine. Ici, bien que la courbe passe par l'origine $(0,0)$, elle est constituée de plusieurs segments de pentes différentes (une ligne brisée). On observe un changement de rythme à $10$ minutes et $30$ minutes. Puisque ce n'est pas une droite unique, il n'y a pas proportionnalité sur l'ensemble de la course. C'est une erreur classique de penser que parce que 'ça monte', c'est proportionnel.

3. Calcul de vitesse moyenne

La formule de la vitesse est $v = \frac{d}{t}$. Ici, la distance totale $d = 2000$ m et le temps total $t = 45$ min.
Le calcul donne : $2000 / 45 \approx 44,444...$ m/min. L'énoncé demande de montrer que c'est environ $44$ m/min. Attention : ne confondez pas la vitesse moyenne sur toute la course avec la vitesse instantanée sur un segment précis.

4. Modélisation par une fonction linéaire

Le nageur 2 est plus simple à étudier car il avance à vitesse constante. Sa trajectoire est modélisée par la fonction $f(x) = 50x$.
Il s'agit d'une fonction linéaire de coefficient $50$.
Calculer l'image de $10$ signifie calculer $f(10) = 50 \times 10 = 500$.
Calculer $f(30)$ revient à faire $50 \times 30 = 1500$. Ces résultats représentent la distance parcourue par le nageur 2 aux temps indiqués.

5. Comparaison des performances

Pour savoir qui est en tête, on compare les distances parcourues à un instant $t$ donné :
- À $10$ min : Le nageur 1 a parcouru $400$ m (lecture graphique), alors que le nageur 2 a parcouru $500$ m (calcul $f(10)$). Le nageur 2 est en tête.
- À $30$ min : Le nageur 1 a parcouru $1600$ m (lecture graphique), tandis que le nageur 2 a parcouru $1500$ m (calcul $f(30)$). Le nageur 1 a repris la tête.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente concerne les unités. Si l'exercice demandait la vitesse en km/h, il faudrait convertir les minutes en heures. Ici, tout est en mètres et minutes, ce qui simplifie les calculs, mais restez vigilants. Un autre piège est la confusion entre l'image et l'antécédent lors de la lecture graphique. Rappelez-vous : 'image' = axe vertical (ordonnées), 'antécédent' = axe horizontal (abscisses).

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points, soignez vos justifications. Ne vous contentez pas de donner un chiffre. Utilisez des phrases types comme : 'Par lecture graphique, on constate que...' ou 'La fonction $f$ étant linéaire, la distance est proportionnelle au temps pour le nageur 2'. Pour la question sur la proportionnalité du nageur 1, la mention 'la représentation graphique n'est pas une droite' est l'argument clé attendu par les correcteurs.