Introduction aux programmes de calculs et au calcul littéral

L'exercice 5 du Brevet de Mathématiques 2018 (Série Générale - Métropole) est un classique incontournable qui mobilise trois compétences fondamentales du cycle 4 : le calcul littéral, la résolution d'équations et la gestion d'un programme de calculs. Ce type d'exercice évalue votre capacité à passer du langage naturel (les instructions du programme) au langage symbolique (les expressions algébriques). Dans cet article, nous allons décomposer chaque étape pour vous offrir une méthode de révision optimale.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. La vérification numérique : Un point de départ rassurant

La première question vous demande de tester le programme avec le nombre $-1$. C'est une étape cruciale pour s'assurer que vous avez bien compris la structure de l'algorithme. Le processus est le suivant :

• Choisir un nombre : $-1$
• Multiplier par 4 : $-1 \times 4 = -4$
• Ajouter 8 : $-4 + 8 = 4$
• Multiplier le résultat par 2 : $4 \times 2 = 8$

2. Remonter le programme : L'art de l'équation

La question 2 est une recherche de l'antécédent : on connaît le résultat final (30) et on cherche le nombre initial. Deux méthodes s'offrent à vous : 1. La méthode inversée : On part de 30 et on effectue les opérations contraires (diviser par 2, soustraire 8, diviser par 4). 2. La méthode algébrique : On pose l'équation $2(4x + 8) = 30$. En résolvant $4x + 8 = 15$, puis $4x = 7$, on trouve $x = 1,75$. L'usage de l'algèbre est vivement recommandé en classe de 3ème car il prépare directement aux attentes du lycée.

3. Démonstration et Identités Remarquables

Dans la troisième partie, on introduit l'expression $B = (4 + x)^2 - x^2$. L'objectif est de prouver que $A = B$ pour n'importe quelle valeur de $x$. Développons $A$ : $A = 2(4x + 8) = 8x + 16$. Développons $B$ en utilisant l'identité remarquable $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ : $B = (16 + 8x + x^2) - x^2 = 8x + 16$. On constate que $A = B$. Cette question teste votre maîtrise du développement et de la réduction d'expressions. N'oubliez pas que démontrer pour tout $x$ signifie que vous ne pouvez pas simplement tester une ou deux valeurs ; le calcul littéral est ici le seul outil de preuve universelle.

4. Analyse des affirmations : Vrai ou Faux ?

Affirmation 1 : "Le résultat est toujours positif". Pour prouver qu'une affirmation est fausse, un seul contre-exemple suffit. Si nous choisissons $x = -5$, le résultat devient $8(-5) + 16 = -40 + 16 = -24$. L'affirmation est donc fausse. Affirmation 2 : "Si $x$ est un entier, le résultat est un multiple de 8". Observons la forme développée $A = 8x + 16$. On peut factoriser par 8 : $A = 8(x + 2)$. Comme $x$ est un entier, $x+2$ est également un entier. Par définition, un nombre qui s'écrit sous la forme $8 \times k$ (où $k$ est un entier) est un multiple de 8. L'affirmation est donc vraie.

Les Pièges à Éviter

L'erreur la plus fréquente réside dans la distributivité. Lors de la multiplication par 2 à la fin du programme, assurez-vous de multiplier tout le bloc précédent et non seulement le dernier chiffre. Un autre piège concerne les nombres relatifs. Une erreur de signe lors du calcul avec $-1$ ou lors du développement de $(4+x)^2$ peut fausser toute la démonstration. Soyez rigoureux sur les parenthèses !

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points : 1. Utilisez des connecteurs logiques ("On sait que", "Or", "Donc"). 2. Encadrez vos résultats finaux. 3. Pour les affirmations, structurez votre réponse : annoncez si c'est vrai ou faux, puis fournissez la preuve (calcul ou contre-exemple). Une affirmation sans justification ne rapporte généralement aucun point au Brevet.