Introduction à l'Arithmétique du Brevet
L'arithmétique est un pilier fondamental du programme de mathématiques en classe de 3ème. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2018 pour la zone Nouvelle-Calédonie, se concentre sur la manipulation des nombres entiers, la décomposition en produits de facteurs premiers et l'application concrète du Plus Grand Commun Diviseur (PGCD) dans une situation de partage équitable. Maîtriser ces notions est crucial pour tout élève souhaitant obtenir une mention, car elles reviennent quasi systématiquement sous forme d'exercices de 'problèmes de vie courante'.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Décomposition en produits de facteurs premiers
La première question demande de décomposer les nombres $162$ et $108$. La méthode consiste à diviser successivement le nombre par les plus petits nombres premiers possibles ($2, 3, 5, 7, 11, \dots$).
Pour $162$ : C'est un nombre pair, donc $162 = 2 \times 81$. Ensuite, $81 = 9 \times 9 = 3^2 \times 3^2 = 3^4$. La décomposition finale est $162 = 2 \times 3^4$.
Pour $108$ : $108 = 2 \times 54 = 2 \times 2 \times 27 = 2^2 \times 3^3$. Cette étape est fondamentale car elle facilite tout le reste de l'exercice, notamment la recherche de diviseurs.
2. Détermination des diviseurs communs
Un diviseur commun à $162$ et $108$ est un nombre qui divise les deux sans reste. Grâce aux décompositions précédentes, on peut identifier des combinaisons. On cherche deux diviseurs supérieurs à $10$. Par exemple, $2 \times 3^2 = 18$ est présent dans les deux. De même, $3^3 = 27$ divise les deux. Les élèves peuvent aussi tester $54$, qui est le PGCD. Lister les diviseurs demande de la rigueur pour ne pas en oublier, mais ici, deux suffisent pour valider les points.
3. Application concrète : Le problème des barquettes
Cette partie est une mise en situation classique de partage. Question 3.a : Peut-on réaliser $36$ barquettes ? Pour que cela soit possible, $36$ doit diviser à la fois $162$ et $108$. On teste : $108 / 36 = 3$ (Entier, c'est bon), mais $162 / 36 = 4,5$. Comme le résultat n'est pas un entier, on ne peut pas répartir les $162$ nems de manière égale dans $36$ barquettes sans en couper. La réponse est donc non.
Question 3.b : Le nombre maximal de barquettes correspond à la recherche du PGCD de $162$ et $108$. En utilisant les décompositions : $PGCD(162, 108) = 2^1 \times 3^3 = 2 \times 27 = 54$. Le cuisinier peut donc réaliser au maximum $54$ barquettes identiques.
Question 3.c : Une fois le nombre de barquettes ($54$) trouvé, on calcule la composition : $162 / 54 = 3$ nems et $108 / 54 = 2$ samossas par barquette.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente est de confondre 'diviseur' et 'multiple'. Certains élèves tentent de multiplier les nombres entre eux. Un autre piège réside dans la décomposition : n'oubliez pas que $1$ n'est pas un nombre premier. Enfin, dans la question 3.a, beaucoup d'élèves s'arrêtent au premier nombre ($108$) sans vérifier si $36$ divise aussi $162$. Pour qu'une répartition soit possible, elle doit fonctionner pour TOUS les ingrédients.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points :
1. Présentez vos calculs de division ou votre arbre de décomposition clairement.
2. Pour la question du PGCD, citez explicitement la méthode utilisée (décomposition ou algorithme d'Euclide).
3. Concluez toujours par une phrase réponse en français qui reprend les termes de l'énoncé ('Le nombre maximal de barquettes est...', 'Il y aura donc...'). La clarté de la rédaction montre au correcteur que vous avez compris la logique mathématique derrière les chiffres.