Introduction à l'Algorithmique au Brevet de Mathématiques

L'exercice 4 du sujet de Brevet 2018 pour l'Amérique du Nord porte sur l'algorithmique et la programmation, un pilier fondamental du nouveau programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice utilise l'environnement Scratch pour tester la capacité de l'élève à lire, interpréter et modifier un script produisant des figures géométriques. L'objectif ici est de manipuler des variables (le côté d'un carré) et de comprendre l'incrémentation au sein d'une boucle répétitive. Dans le contexte du Brevet, ces exercices sont souvent notés sur une dizaine de points et ne nécessitent pas de rédaction complexe, mais une rigueur logique absolue.

Analyse de la Question 1 : Maîtrise des Variables et Boucles

La première question demande d'identifier les dimensions des carrés tracés par le script principal. Pour y répondre, il faut suivre pas à pas l'état de la variable côté à chaque itération de la boucle "répéter 4 fois".

Initialement, l'instruction mettre côté à 40 fixe la valeur de départ. Le premier bloc appelé est carré, qui dessine donc un carré de $40$ pixels de côté. C'est la réponse à la question 1.a : la longueur du côté du plus petit carré est de $40$ unités.

Pour trouver la longueur du plus grand carré (question 1.b), analysons les itérations successives :

• Itération 1 : Côté = $40$. Dessin du carré. Puis ajouter à côté 20 (Côté devient $60$).
• Itération 2 : Côté = $60$. Dessin du carré. Puis ajouter à côté 20 (Côté devient $80$).
• Itération 3 : Côté = $80$. Dessin du carré. Puis ajouter à côté 20 (Côté devient $100$).
• Itération 4 : Côté = $100$. Dessin du carré. Puis ajouter à côté 20 (Côté devient $120$).

Attention au piège classique : la boucle se répète 4 fois. Le dernier carré dessiné est celui de l'itération 4, donc sa longueur est de $100$. Bien que la variable passe à $120$ juste après, aucun carré n'est dessiné avec cette valeur. La réponse est donc $100$.

Analyse de la Question 2 : Modification du Tracé et Épaisseur

On nous demande d'insérer l'instruction ajouter 2 à la taille du stylo pour obtenir un effet d'épaisseur croissante. Pour que chaque carré successif soit plus épais que le précédent, cette instruction doit impérativement se situer à l'intérieur de la boucle "répéter 4 fois".

Plus précisément, on peut l'insérer juste avant ou juste après le bloc carré, mais toujours à l'intérieur du bloc de répétition. Si on l'insérait avant la boucle, l'épaisseur ne changerait qu'une fois. En la plaçant à l'intérieur, le stylo s'épaissit de $2$ unités avant chaque nouveau tracé, créant ce dégradé visuel de traits de plus en plus forts.

Analyse de la Question 3 : Translation et Espacement Géométrique

Dans la modification du script, l'instruction de mouvement change : avancer de côté + 30 remplace avancer de côté. C'est une modification cruciale de la géométrie du tracé.

Dans le script initial, le lutin avançait d'une distance exactement égale au côté du carré qu'il venait de tracer. Cela signifie que le point de départ du carré suivant coïncidait avec le point d'arrivée (le coin inférieur droit) du précédent. Les carrés étaient donc collés.

Avec avancer de côté + 30, le lutin parcourt la longueur du carré PLUS $30$ unités supplémentaires vers la droite avant de commencer le carré suivant. Cela crée un espace vide de $30$ unités entre chaque figure. En observant les propositions :

• Le Dessin 1 montre un décalage vertical (en Y), ce qui est impossible car aucune instruction n'impacte l'ordonnée.
• Le Dessin 2 montre une ligne continue qui relie les carrés. Or, le bloc carré définit que le stylo est relevé après le tracé, mais le script principal ne le relève pas pendant le déplacement avancer de.... Cependant, l'observation fine du bloc carré montre stylo en position d'écriture au début et relever le stylo à la fin. Si le lutin avance entre deux appels de blocs, le stylo est levé !
• Le Dessin 3 montre des carrés séparés par un espace constant, sans trait de liaison, alignés horizontalement. C'est la représentation exacte d'un déplacement supérieur à la taille du côté avec un stylo relevé entre deux figures.

Les Pièges Classiques à Éviter

1. L'incrémentation de la variable : Ne confondez pas mettre à (affectation d'une valeur fixe) et ajouter à (incrémentation). Dans cet exercice, ajouter 20 signifie $côté = côté + 20$.

2. L'ordre des instructions : Si vous placez l'augmentation de la taille du côté AVANT le dessin du premier carré, le plus petit carré ne fera pas $40$ mais $60$. L'ordre dans Scratch est purement séquentiel.

3. L'orientation : L'instruction s'orienter à 90 place le lutin vers la droite (l'est). C'est le point de départ standard pour les tracés horizontaux sur l'axe des abscisses.

Conseil de Professeur pour la Rédaction

Même si l'énoncé précise qu'aucune justification n'est attendue, prenez l'habitude sur votre brouillon de noter les valeurs de vos variables sous forme de tableau (une colonne 'Côté', une colonne 'Itération'). Cela évite l'erreur de décalage d'un rang (le fameux "off-by-one error" en informatique) qui vous ferait répondre $120$ au lieu de $100$ à la question 1.b. Pour la question 3, l'analyse visuelle de l'espace entre les carrés est la clé : repérez si les figures se touchent ou non.