Introduction aux Solides de l'Espace en 3ème

La géométrie dans l'espace est un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Dans cet exercice issu du Brevet 2017 (centres étrangers), l'accent est mis sur la capacité de l'élève à identifier, représenter et comparer les volumes de quatre solides usuels : la pyramide, le cylindre, le cône et la boule. La maîtrise des formules de calcul de volume est essentielle pour réussir cette épreuve. L'objectif ici n'est pas seulement d'appliquer mécaniquement une formule, mais de comprendre comment les dimensions influent sur l'espace occupé par l'objet.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice commence par une phase de représentation graphique. Il est crucial de comprendre que le dessin en perspective cavalière ne respecte pas les angles réels, mais conserve le parallélisme. Pour la pyramide, le cylindre et le cône, l'énoncé demande de placer les dimensions. C'est une étape clé pour s'assurer que l'on n'inverse pas le rayon et la hauteur, une erreur classique chez les candidats.

Calcul détaillé des Volumes

Pour classer ces solides, nous devons calculer le volume de chacun. Utilisons les formules fournies en fin d'énoncé :

1. La Pyramide

La base est un rectangle de $6\text{ cm}$ par $3\text{ cm}$. L'aire de la base est donc $6 \times 3 = 18\text{ cm}^2$. La hauteur est de $6\text{ cm}$. Le volume $V_1$ est donné par : $V_1 = \frac{1}{3} \times \text{Aire de la base} \times \text{hauteur} = \frac{1}{3} \times 18 \times 6 = 36\text{ cm}^3$.

2. Le Cylindre

Le rayon est de $2\text{ cm}$ et la hauteur de $3\text{ cm}$. Le volume $V_2$ est : $V_2 = \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur} = \pi \times 2^2 \times 3 = 12\pi\text{ cm}^3$. En prenant une valeur approchée de $\pi \approx 3,14$, on obtient $V_2 \approx 37,7\text{ cm}^3$.

3. Le Cône

Le rayon est de $3\text{ cm}$ et la hauteur de $3\text{ cm}$. Le volume $V_3$ est : $V_3 = \frac{1}{3} \times \pi \times \text{rayon}^2 \times \text{hauteur} = \frac{1}{3} \times \pi \times 3^2 \times 3 = 9\pi\text{ cm}^3$. Valeur approchée : $V_3 \approx 28,3\text{ cm}^3$.

4. La Boule

Le rayon est de $2\text{ cm}$. Le volume $V_4$ est : $V_4 = \frac{4}{3} \times \pi \times \text{rayon}^3 = \frac{4}{3} \times \pi \times 2^3 = \frac{32}{3}\pi\text{ cm}^3$. Valeur approchée : $V_4 \approx 33,5\text{ cm}^3$.

Synthèse et Classement

Une fois les calculs effectués, il faut comparer les valeurs. Pour un classement rigoureux, on peut utiliser les valeurs exactes ou les arrondis au dixième : $28,3 < 33,5 < 36 < 37,7$. L'ordre croissant est donc : Cône, Boule, Pyramide, puis Cylindre. Cette étape finale demande de la vigilance sur les symboles d'ordre (< ou >) pour ne pas invalider la réponse.

Les Pièges à Éviter

Le piège principal réside dans l'utilisation de la calculatrice. Beaucoup d'élèves oublient le facteur $\frac{1}{3}$ pour les solides dits 'à pointe' (cône et pyramide). Une autre erreur fréquente est de confondre le diamètre et le rayon. Ici, les rayons sont donnés explicitement, mais restez vigilants dans d'autres sujets. Enfin, n'oubliez jamais de préciser l'unité ($\text{cm}^3$) dans vos conclusions, car une grandeur sans unité n'a pas de sens physique.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
1. Écrivez toujours la formule littérale avant de remplacer par les chiffres.
2. Montrez le calcul de l'aire de la base séparément si nécessaire.
3. Donnez la valeur exacte (avec $\pi$) avant de donner l'arrondi.
4. Concluez par une phrase claire répondant précisément à la question posée.