Introduction aux notions de géométrie et de grandeurs
Cet exercice, issu du sujet du Brevet des Collèges 2017 pour la zone Étrangers, est une application concrète des mathématiques au quotidien. Il mobilise deux compétences majeures du cycle 4 : la maîtrise des volumes dans l'espace (pavé droit) et la gestion de la proportionnalité liée au temps et au débit. Dans un contexte de remplissage de piscine, l'élève doit faire preuve de rigueur en combinant calcul de dimensions, conversions d'unités de mesure (mètres, décimètres cubes, litres) et gestion des durées (secondes, heures, jours). Ce type d'exercice est récurrent dans l'épreuve de mathématiques car il permet d'évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle par des calculs structurés. Les thématiques des Volumes et de la Proportionnalité constituent ici le cœur de l'analyse, exigeant une lecture attentive des consignes, notamment sur les marges de sécurité (les 20 cm de vide) qui constituent souvent le piège principal pour les candidats inattentifs.
Analyse méthodique pas à pas
Pour résoudre cet exercice, il est impératif de décomposer le problème en quatre étapes distinctes et logiques. Chaque étape doit être soigneusement rédigée sur la copie pour garantir l'obtention de tous les points de raisonnement.
1. Calcul de la hauteur d'eau utile
Le premier défi consiste à comprendre que la piscine n'est pas remplie jusqu'au bord. La profondeur totale est de $1,80$ m, mais l'énoncé précise qu'un espace de $20$ cm doit être laissé. Attention à l'homogénéité des unités ! $20$ cm correspondent à $0,20$ m. La hauteur d'eau réelle $h$ est donc : $1,80 - 0,20 = 1,60$ m. C'est cette valeur qu'il faudra utiliser pour le calcul du volume.
2. Calcul du volume d'eau à remplir
La piscine ayant la forme d'un pavé droit, la formule du volume est $V = L \times l \times h$. En remplaçant par les valeurs de l'énoncé : $V = 8 \text{ m} \times 4 \text{ m} \times 1,6 \text{ m} = 51,2 \text{ m}^3$. Ce volume représente la quantité totale d'espace que l'eau doit occuper.
3. Conversion du volume en litres
L'énoncé donne le débit du tuyau d'arrosage en litres ($10$ L en $18$ s). Il faut donc convertir les $51,2 \text{ m}^3$ en litres. Rappelons qu'un mètre cube ($1 \text{ m}^3$) équivaut à $1000$ litres. Ainsi, le volume d'eau nécessaire est : $51,2 \times 1000 = 51\,200$ litres. Cette étape de conversion est cruciale pour pouvoir utiliser la règle de proportionnalité par la suite.
4. Calcul du temps de remplissage (Proportionnalité)
Nous savons qu'il faut $18$ secondes pour remplir $10$ litres. On peut utiliser un tableau de proportionnalité ou le produit en croix pour trouver le temps $T$ nécessaire pour $51\,200$ litres : $T = (51\,200 \times 18) / 10 = 92\,160$ secondes. Pour répondre à la question (est-ce plus ou moins d'une journée ?), il faut convertir ces secondes en heures puis en jours. On divise par $3600$ pour obtenir les heures : $92\,160 / 3600 = 25,6$ heures. Sachant qu'une journée compte $24$ heures, on peut conclure qu'il faut plus d'une journée pour remplir la piscine ($25,6 > 24$).
Les pièges classiques à éviter
De nombreux élèves perdent des points sur des erreurs d'inattention évitables dans ce type d'exercice. Le piège le plus fréquent est d'utiliser la profondeur totale de la piscine ($1,80$ m) au lieu de la hauteur d'eau réelle ($1,60$ m). L'oubli de la conversion des $20$ cm en $0,2$ m est également courant. Une autre source d'erreur réside dans la conversion entre $m^3$ et litres ; rappelez-vous que $1 \text{ dm}^3 = 1 \text{ L}$. Enfin, la manipulation des unités de temps demande de la vigilance : ne confondez pas $25,6$ heures avec $25$ heures et $6$ minutes. Ici, $0,6$ heure correspond à $0,6 \times 60 = 36$ minutes, soit une durée totale de $25$ h $36$ min.
Conseils de rédaction pour l'épreuve
Pour maximiser votre note au Brevet, la clarté est votre meilleure alliée. Commencez par annoncer ce que vous calculez (ex: "Calculons le volume d'eau à verser"). Écrivez toujours la formule littérale avant de passer aux chiffres. N'oubliez jamais les unités dans vos résultats finaux et soulignez votre conclusion. La justification de la réponse finale doit être explicite : "Comme $25,6 > 24$, alors il faudra plus d'une journée". Un correcteur appréciera une copie où le raisonnement logique saute aux yeux, même si une petite erreur de calcul s'y glisse.