Introduction aux Grandeurs et aux Proportions
Cet exercice, issu du sujet du Brevet de Mathématiques 2017 pour la zone Nouvelle-Calédonie, est un excellent support pour réviser deux piliers du programme de 3ème : les vitesses moyennes et les calculs de fractions. Dans un contexte de navigation maritime réaliste, les élèves sont confrontés à une situation concrète mêlant conversion d'unités, gestion de grandeurs proportionnelles et interprétation de données textuelles. La maîtrise de ces notions est fondamentale non seulement pour l'obtention du diplôme national du brevet, mais aussi pour la vie quotidienne, notamment dans la compréhension de la consommation de carburant et la planification de trajets.
Analyse Méthodique du Problème : Question 1 - La Gestion de la Vitesse
La première partie de l'exercice porte sur le calcul de la durée d'un trajet. Pour répondre efficacement, il faut identifier trois étapes clés :
- La conversion de la vitesse : La vitesse est donnée en nœuds. C'est un piège classique au Brevet. Il faut utiliser l'équivalence fournie : $1 \text{ nœud} = 1,852 \text{ km/h}$. Si Antoine navigue à $8$ nœuds, sa vitesse $v$ en kilomètres par heure est : $v = 8 \times 1,852 = 14,816 \text{ km/h}$. Cette précision décimale est essentielle pour ne pas accumuler d'erreurs d'arrondi dès le début.
- L'application de la formule de la vitesse : On rappelle que $v = d/t$, ce qui implique que le temps $t$ est égal à $d/v$. Avec une distance $d = 5 \text{ km}$, on obtient $t = 5 / 14,816 \approx 0,33747... \text{ heures}$.
- Le passage des heures aux minutes : Un résultat en heures décimales est rarement parlant. Pour convertir $0,33747$ h en minutes, on multiplie par $60$. Le calcul $0,33747 \times 60$ nous donne environ $20,248$ minutes. L'énoncé demande un arrondi à l'unité, ce qui nous mène à $20$ minutes.
Raisonnement Pédagogique : Il est crucial de faire comprendre à l'élève que la vitesse est un rapport. Plus la vitesse est élevée, moins le temps sera important. Ici, la faible distance (5 km) et la vitesse modérée (environ 15 km/h) suggèrent un temps court, ce qui rend les 20 minutes cohérentes.
Analyse Méthodique du Problème : Question 2 - Fractions et Consommation
La seconde question aborde la notion de fraction d'une quantité totale et la soustraction de volumes. C'est un exercice de logique arithmétique.
- Calcul de la consommation aller : Le réservoir contient $12$ L. Les amis consomment un quart ($1/4$) du réservoir à l'aller. Mathématiquement, cela revient à calculer : $12 \times (1/4) = 3 \text{ L}$. Il reste donc $12 - 3 = 9 \text{ L}$ au moment d'arriver sur le lieu de pêche.
- Calcul de la consommation retour : L'énoncé précise qu'au retour, avec le poids du poisson, le bateau consomme $1$ L de plus qu'à l'aller. La consommation du retour est donc de $3 + 1 = 4 \text{ L}$.
- Volume final restant : Pour trouver ce qu'il reste à l'arrivée finale, on soustrait la consommation totale (aller + retour) du réservoir initial, ou on retire la consommation retour du reste après l'aller. Soit $9 - 4 = 5 \text{ L}$.
Les Pièges à Éviter
Lors de la résolution de cet exercice, plusieurs erreurs classiques peuvent être commises par les candidats au Brevet :
- L'erreur d'unité : Oublier de convertir les nœuds en km/h ou confondre les minutes et les centièmes d'heure. Rappelez-vous toujours que $0,5$ heure n'est pas $50$ minutes mais bien $30$ minutes.
- L'oubli de l'arrondi : L'énoncé est précis : "arrondi à l'unité". Un résultat comme $20,2$ sera pénalisé s'il n'est pas arrondi correctement.
- L'interprétation de la fraction : Certains élèves pourraient vouloir diviser par $4$ puis retirer encore $1$ sur le total sans décomposer l'aller et le retour. Il faut bien lire que le "$1$ L de plus" s'ajoute à la consommation du trajet simple et non au total déjà consommé.
Conseils de Rédaction pour le Jour J
Pour maximiser vos points, suivez ces principes de présentation :
- Annoncez vos calculs : Ne posez pas de chiffres sans texte. Écrivez : "Calculons d'abord la vitesse en km/h :".
- Précisez les unités : Chaque résultat final doit être accompagné de son unité (L, km, min).
- Structurez votre réponse : Utilisez des tirets ou des numéros de questions. Une copie claire incite le correcteur à la bienveillance.
- La phrase de conclusion : Terminez toujours par une phrase réponse, par exemple : "Il restera donc 5 litres d'essence dans le réservoir à la fin de la journée."
En maîtrisant cet exercice de 2017, vous validez votre capacité à manipuler des données concrètes et à transformer un énoncé narratif en modèle mathématique rigoureux. C'est une compétence clé pour réussir l'épreuve de mathématiques du Brevet des collèges.