Introduction aux grandeurs et mesures au Brevet
L'exercice 2 du sujet de mathématiques du Brevet des collèges de Polynésie 2017 est un cas d'école concernant la thématique des grandeurs et mesures, plus précisément le calcul de vitesses. Dans le cadre du programme de 3ème, la maîtrise de la relation entre distance, temps et vitesse est un pilier fondamental. Cet exercice ne se contente pas de demander une application directe de la formule $v = d/t$, il impose une phase préalable de lecture de documents techniques et d'extraction de données structurées. Le TGV, symbole de la technologie ferroviaire française, sert ici de support concret pour évaluer la capacité de l'élève à modéliser une situation réelle en un problème mathématique soluble.
Analyse de l'Information 1 : Le facteur Temps
La première donnée fournie est le temps de passage : 13 secondes et 53 centièmes. En notation décimale, cela se traduit par $t = 13,53$ s. Il est impératif pour l'élève de ne pas confondre les centièmes de seconde avec une notation sexagésimale (minutes/secondes). Ici, la donnée est déjà prête pour un calcul en mètres par seconde (m/s). Cette précision au centième suggère que le résultat final pourrait nécessiter un arrondi, comme indiqué à la fin de l'énoncé.
Étape 1 : Analyse du Schéma et Calcul de la Longueur du Train
C'est ici que réside la principale difficulté de l'exercice. L'énoncé fournit un schéma technique détaillé avec des cotes en millimètres. Pour réussir, il faut décomposer le problème en plusieurs sous-étapes :
- Identification des composants : Le TGV est composé de rames. Une rame comporte des motrices de type A et des voitures de type B.
- Lecture des dimensions : D'après l'Information 2, une motrice A mesure $18300$ mm de long. Une voiture B mesure $14000$ mm. Il est crucial de noter que ces mesures sont en millimètres, une unité peu commune pour exprimer la longueur d'un train, ce qui constitue le premier piège classique.
- Composition totale : L'Information 3 précise que le TGV est constitué de deux rames. Chaque rame contient 2 motrices et 10 voitures.
Calculons d'abord la longueur d'une seule rame :
Long_rame = $(2 \times 18300) + (10 \times 14000)$
Long_rame = $36600 + 140000 = 176600$ mm.
Puisque le train complet comporte deux rames identiques, la longueur totale $d$ est :
$d = 2 \times 176600 = 353200$ mm.
Étape 2 : Conversion des unités pour le calcul de vitesse
Travailler avec 353 200 mm n'est pas pratique. Pour obtenir une vitesse en km/h, il est plus sage de convertir d'abord cette distance en mètres (m). Nous savons que $1$ m = $1000$ mm. Par conséquent :
$d = 353200 / 1000 = 353,2$ mètres.
Le train mesure donc un peu plus de 353 mètres, ce qui est cohérent avec la réalité des TGV doubles (rames couplées).
Étape 3 : Calcul de la vitesse en m/s puis conversion en km/h
Nous appliquons la formule fondamentale : $v = d / t$.
En remplaçant par nos valeurs : $v = 353,2 / 13,53$.
À l'aide de la calculatrice, on obtient $v \approx 26,10495...$ m/s.
Cependant, l'énoncé demande la vitesse en km/h. Il existe deux méthodes pour convertir des m/s en km/h :
1. Multiplier par 3,6 (car $1$ m/s = $3,6$ km/h).
2. Raisonner : s'il parcourt 26,1 mètres en 1 seconde, il en parcourt $26,1 \times 3600$ en une heure ($3600$ s), puis diviser par $1000$ pour passer en kilomètres.
Appliquons la méthode directe : $v_{km/h} = 26,10495 \times 3,6 \approx 93,9778...$ km/h.
L'arrondi final et la réponse
La consigne précise : "Le résultat sera arrondi à l'unité".
Le chiffre après la virgule est un 9, on arrondit donc à l'unité supérieure.
La vitesse du TGV est d'environ 94 km/h.
Les Pièges à éviter (Analyse Professeur)
En tant qu'enseignant, j'observe souvent trois erreurs majeures sur ce type de sujet :
1. L'oubli de la double rame : Beaucoup d'élèves calculent la longueur pour une seule rame et oublient de multiplier par deux, malgré l'Information 3 explicite.
2. Les erreurs de conversion : Passer de mm en m puis en km/h demande de la rigueur. L'utilisation d'un tableau de conversion de tête est vivement conseillée.
3. L'unité de temps : Certains tentent de convertir 13,53 s en minutes avant de calculer, ce qui complique inutilement les calculs et augmente le risque d'erreur d'arrondi intermédiaire.
Conseils de rédaction pour l'épreuve
Pour obtenir le maximum de points (notamment sur la compétence "Communiquer"), l'élève doit clairement séparer ses calculs. Annoncez chaque étape par une phrase : "Calcul de la longueur d'une rame", "Conversion de la distance en mètres", "Calcul de la vitesse". N'oubliez jamais de citer la formule littérale ($v = d/t$) avant de passer aux valeurs numériques. C'est cette structure qui garantit la bienveillance du correcteur, même en cas d'erreur de calcul mineure.