Introduction aux notions du Brevet 2016 : Rio et le Pain de Sucre

Cet exercice, issu du sujet Amerique du Sud 2016, est un modèle de transversalité. Il mobilise quatre piliers du programme de troisième : la trigonométrie dans un triangle rectangle, les grandeurs composées (vitesse moyenne), les statistiques descriptives et l'utilisation d'un tableur. Le contexte concret du téléphérique du mont Pain de Sucre à Rio de Janeiro permet de mettre en pratique des outils mathématiques abstraits dans une situation réelle. L'objectif ici est de valider la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma et d'un tableau pour résoudre des problèmes complexes.

Analyse Question 1 : Maîtriser la Trigonométrie et le Schéma

La première difficulté consiste à identifier les dimensions du triangle rectangle $UOS$ qui n'est pas explicitement dessiné avec toutes ses mesures. On sait que le triangle est rectangle en $O$. L'hypoténuse est le câble du téléphérique, soit $US = 762$ m. Le côté opposé à l'angle recherché $\widehat{OUS}$ est le segment $[SO]$, représentant la différence d'altitude entre le sommet et la station intermédiaire. Un piège classique serait d'utiliser directement l'altitude de 396 m. Or, le point $U$ est déjà à 220 m d'altitude. On calcule donc d'abord $SO = 396 - 220 = 176$ m. En utilisant la formule du sinus (SOH : Sinus = Opposé / Hypoténuse), on obtient $\sin(\widehat{OUS}) = \frac{176}{762}$. Grâce à la calculatrice et la touche Arcsin, on trouve un angle d'environ $13,34°$. L'énoncé demandant un arrondi au degré près, la réponse attendue est $13°$.

Analyse Question 2 : Grandeurs Composées et Conversions de Temps

Le calcul de la vitesse moyenne est un classique qui fait souvent perdre des points à cause des unités. La formule est $v = \frac{d}{t}$. Ici, la distance $d$ est $US = 762$ m. Le temps $t$ est donné sous la forme $6$ min $30$ s. L'erreur fatale serait d'utiliser $6,30$ comme diviseur. Il est impératif de convertir le temps en secondes : $6 \times 60 + 30 = 390$ secondes. On effectue alors le calcul : $v = \frac{762}{390} \approx 1,95$ m/s. L'énoncé demande un arrondi au mètre par seconde près, donc la réponse finale est $2$ m/s. Un conseil de rédaction : écrivez toujours la formule littérale avant d'effectuer l'application numérique pour montrer votre raisonnement à l'examinateur.

Analyse Question 3 : Tableur et Interprétation de Données

La partie tableur demande de comprendre comment le logiciel traite les données groupées. La formule $=SOMME(B2:G2)$ en cellule $H2$ additionne toutes les valeurs de la ligne 2, de la colonne B à G. Interpréter ce résultat signifie expliquer qu'il s'agit du nombre total de visiteurs sur l'ensemble de la journée (de 8h00 à 20h00). Pour trouver le nombre de visiteurs manquants sur le créneau 12h-14h (cellule D2), on utilise la valeur totale en $H2$ ($615$) et on soustrait les autres cellules : $615 - (122 + 140 + 63 + 75 + 118) = 615 - 518 = 97$. Il y a donc eu 97 visiteurs entre 12h00 et 14h00.

Analyse Question 4 : Logique de l'Analyse Statistique par le Tableur

La dernière question teste la compréhension de la moyenne dans un contexte d'intervalles de temps. On cherche le nombre moyen de visiteurs par heure. Le tableau présente 6 tranches horaires de 2 heures chacune (par exemple 8h-10h). La somme totale des visiteurs ($615$) correspond à une durée totale de 12 heures ($20h - 8h = 12h$). La fonction $=MOYENNE(B2:G2)$ calcule la moyenne par tranche de 2 heures. Pour obtenir la moyenne par heure, il faut donc diviser ce résultat par 2. La proposition correcte est donc $=MOYENNE(B2:G2)/2$. Attention à ne pas oublier le signe '=' qui est indispensable pour qu'un tableur reconnaisse une formule.

Les Pièges à Éviter pour réussir le Brevet

1. **L'altitude relative** : Ne pas confondre l'altitude du sommet avec la dénivelée réelle du trajet. Soustrayez toujours l'altitude de départ.
2. **Le temps décimal** : $6$ min $30$ s n'est pas égal à $6,3$ minutes mais à $6,5$ minutes ou $390$ secondes. C'est l'erreur la plus fréquente au collège.
3. **Le vocabulaire du tableur** : Une 'plage de cellules' se note avec deux points ($:$), tandis que des cellules séparées se notent avec un point-virgule ($;$). Ne confondez pas la somme et la moyenne.

Conseils de Rédaction pour maximiser ses points

Pour la trigonométrie, commencez toujours par citer le triangle et préciser qu'il est rectangle : 'Dans le triangle UOS rectangle en O...'. Pour les calculs de vitesse, précisez toujours vos unités de départ et d'arrivée. Enfin, pour les questions de tableur, recopiez la formule exactement telle qu'elle doit apparaître, sans oublier le signe égal. Une présentation claire avec des phrases de conclusion pour chaque question assure la bienveillance du correcteur.