Introduction aux Statistiques du Brevet
L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2017 (série Asie) est un exemple parfait de l'application des statistiques descriptives dans un contexte concret : le sport de haut niveau. Dans cet exercice, nous analysons les performances de trois lanceuses de poids (Solenne, Rachida et Sarah) sur une série de cinq lancers. Les notions abordées ici sont fondamentales pour le programme de 3ème : la moyenne, la médiane et l'étendue. Maîtriser ces concepts ne permet pas seulement de réussir son examen, mais aussi de comprendre comment les données sont interprétées dans la vie réelle pour évaluer la régularité ou la performance d'un individu.
Analyse Méthodique de la Question 1 : Élimination par le calcul
La première question demande d'expliquer pourquoi les caractéristiques données (Étendue = 2,5 m, Moyenne = 18,2 m, Médiane = 18 m) ne correspondent ni à Solenne ni à Rachida. Pour répondre, nous devons calculer ces trois indicateurs pour chaque athlète.
Cas de Solenne
Les performances de Solenne sont : 17,8 ; 17,9 ; 18 ; 19,9 ; 17,4.
- Moyenne de Solenne : $M = \frac{17,8 + 17,9 + 18 + 19,9 + 17,4}{5} = \frac{91}{5} = 18,2$. Ici, la moyenne correspond bien aux caractéristiques données.
- Étendue de Solenne : L'étendue est la différence entre la plus grande et la plus petite valeur : $19,9 - 17,4 = 2,5$. Cela correspond également.
- Médiane de Solenne : Pour trouver la médiane, il faut d'abord ordonner la série : 17,4 ; 17,8 ; 17,9 ; 18 ; 19,9. La médiane est la 3ème valeur (puisqu'il y a 5 lancers), soit 17,9. Or, la médiane attendue est de 18.
Conclusion : Solenne est éliminée car sa médiane (17,9) ne correspond pas à celle de l'énoncé (18).
Cas de Rachida
Les performances de Rachida sont : 17,9 ; 17,6 ; 18,5 ; 18 ; 19.
- Étendue de Rachida : La valeur maximale est 19 et la minimale est 17,6. Étendue = $19 - 17,6 = 1,4$.
Conclusion : Rachida est éliminée dès le calcul de l'étendue, car 1,4 est différent de 2,5. Il est inutile de calculer sa moyenne ou sa médiane pour justifier l'exclusion.
Analyse de la Question 2 : Résolution du problème de Sarah
Sachant que les caractéristiques sont celles de Sarah, nous devons trouver ses trois lancers manquants ($?$). Nous savons que Sarah a déjà un lancer de 18 m et un meilleur lancer de 19,5 m.
Détermination du lancer minimal
L'étendue de Sarah est de 2,5 m. Puisque son meilleur lancer est de 19,5 m, son lancer le plus faible (la valeur minimale) est obligatoirement : $19,5 - 2,5 = 17$ m.
Utilisation de la médiane
La médiane est de 18 m. Dans une série de 5 lancers ordonnés, la médiane est la 3ème valeur. Nous avons déjà deux valeurs connues de 18 m et 19,5 m. Plaçons-les dans une série croissante hypothétique : $17 ; x_2 ; 18 ; x_4 ; 19,5$. Pour que 18 soit la médiane, la deuxième valeur $x_2$ doit être comprise entre 17 et 18, et la quatrième valeur $x_4$ entre 18 et 19,5.
Utilisation de la moyenne pour conclure
La moyenne doit être de 18,2 m. La somme totale des 5 lancers doit donc être égale à $18,2 \times 5 = 91$ m. Nous connaissons déjà trois valeurs : 17, 18 et 19,5. La somme des deux valeurs manquantes ($x_2$ et $x_4$) est donc : $91 - (17 + 18 + 19,5) = 91 - 54,5 = 36,5$.
Nous devons donc trouver deux nombres $x_2$ et $x_4$ tels que :
1. $x_2 + x_4 = 36,5$
2. $17 \le x_2 \le 18$
3. $18 \le x_4 \le 19,5$
Un couple possible est par exemple $x_2 = 17,5$ et $x_4 = 19$. Vérification : $17,5 + 19 = 36,5$. Les trois lancers manquants pourraient donc être 17 m, 17,5 m et 19 m.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente lors de cet exercice est de ne pas ordonner la série avant de déterminer la médiane. N'oubliez jamais que la médiane n'est pas simplement le chiffre du milieu de la liste fournie par l'énoncé, mais le chiffre du milieu d'une liste triée par ordre croissant. Un autre piège concerne l'unité : n'oubliez jamais de mentionner 'm' pour mètres dans vos résultats finaux.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, détaillez vos calculs. Par exemple, écrivez explicitement la formule de la moyenne : "Somme des valeurs divisée par l'effectif total". Pour la question sur Sarah, listez clairement vos hypothèses en montrant que vous avez utilisé chaque caractéristique (étendue, moyenne, médiane) successivement. Une réponse structurée est la clé d'un 20/20.