Introduction aux Statistiques du Brevet : Le cas Wallis-et-Futuna 2017

Les statistiques occupent une place centrale dans le programme de mathématiques de 3ème. Elles permettent d'analyser des données concrètes, comme ici la croissance de jeunes plants de blé. Cet exercice, issu du sujet de Wallis-et-Futuna 2017 (Exercice 2), se concentre sur deux indicateurs de position fondamentaux : la moyenne pondérée et la médiane. Comprendre ces notions est essentiel pour réussir l'épreuve du Diplôme National du Brevet (DNB), car elles sont quasiment systématiquement présentes sous une forme ou une autre.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Calcul de la taille moyenne d'un plant

Le calcul de la moyenne est souvent la première étape d'une analyse statistique. Ici, nous sommes face à une série sous forme de tableau d'effectifs. On ne peut pas simplement additionner les tailles visibles ; il faut tenir compte de l'effectif associé à chaque taille. C'est ce qu'on appelle une moyenne pondérée.

Pour calculer la moyenne (notée souvent \(\bar{x}\)), on applique la formule suivante : \(\bar{x} = \frac{\sum (\text{valeur} \times \text{effectif})}{\text{effectif total}}\). Dans notre cas, l'énoncé nous indique que l'effectif total est de 29 plants. Le calcul détaillé est : \( (0 \times 1 + 10 \times 4 + 15 \times 6 + 17 \times 2 + 18 \times 3 + 19 \times 3 + 20 \times 4 + 21 \times 4 + 22 \times 2) / 29 \).

En décomposant le numérateur : \( 0 + 40 + 90 + 34 + 54 + 57 + 80 + 84 + 44 = 483 \). Enfin, \( 483 / 29 \approx 16,65 \). La taille moyenne d'un plant de blé est donc d'environ 16,7 cm. Notez bien que la valeur '0' compte dans l'effectif total même si elle n'ajoute rien à la somme des tailles.

Question 2.a : Détermination de la médiane

La médiane est la valeur qui partage une série statistique ordonnée en deux groupes de même effectif. Pour la trouver, la première étape est de s'assurer que les données sont rangées par ordre croissant, ce qui est déjà le cas dans le tableau fourni. Ensuite, on regarde l'effectif total \( N = 29 \).

Comme 29 est un nombre impair, le calcul est direct : \( (29 + 1) / 2 = 15 \). La médiane est donc la 15ème valeur de la série. Pour la trouver rapidement, on utilise les effectifs cumulés croissants :

• Taille 0 : 1 plant
• Taille 10 : 1 + 4 = 5 plants
• Taille 15 : 5 + 6 = 11 plants
• Taille 17 : 11 + 2 = 13 plants
• Taille 18 : 13 + 3 = 16 plants

Question 2.b : Interprétation du résultat

Interpréter une médiane demande de la rigueur dans la formulation. Dire que la médiane est de 18 cm signifie qu'au moins 50% des jeunes plants de blé ont une taille inférieure ou égale à 18 cm, et qu'au moins 50% ont une taille supérieure ou égale à 18 cm. Dans le contexte de l'exercice, cela montre que la moitié de la production de plants a déjà atteint une croissance significative (18 cm ou plus) après seulement 10 jours.

Les Pièges à Éviter

1. Confondre moyenne et médiane : La moyenne est un centre de gravité influencé par les valeurs extrêmes (le plant à 0 cm fait baisser la moyenne), tandis que la médiane ne dépend que du rang des valeurs.
2. Oublier les effectifs : Ne calculez jamais la moyenne des valeurs du haut sans les multiplier par celles du bas !
3. Mauvaise lecture du tableau : Vérifiez toujours que vous n'avez pas sauté une colonne lors de la saisie sur votre calculatrice.
4. L'unité : N'oubliez jamais de préciser 'cm' dans vos phrases de conclusion.

Conseils de Rédaction pour le Brevet

Pour obtenir le maximum de points :
- Posez clairement le calcul de la moyenne avant de donner le résultat.
- Pour la médiane, écrivez explicitement que l'effectif est de 29 et justifiez la position (15ème valeur).
- Utilisez des phrases de conclusion propres : 'La taille moyenne est de...', 'La médiane est de...'. Cela montre au correcteur que vous comprenez le sens physique des nombres que vous manipulez.