Introduction aux notions de Géométrie du Brevet
L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet 2017 (série Wallis-et-Futuna) est un grand classique de la classe de 3ème. Il s'inscrit dans un contexte de vie réelle : l'organisation d'une course pour lutter contre l'obésité. Ce type d'énoncé, dit 'tâche complexe', demande de mobiliser plusieurs compétences majeures du cycle 4 : le Théorème de Pythagore et le Théorème de Thalès. L'objectif ici est de naviguer sur un plan géométrique constitué de triangles imbriqués pour calculer une distance totale de parcours. Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas d'appliquer des formules, il faut savoir structurer sa démonstration et justifier l'utilisation de chaque outil mathématique.
Analyse Question 1 : Le calcul de la distance BC via Pythagore
La première étape consiste à calculer la longueur BC. En observant la figure (même si elle n'est pas à l'échelle), nous repérons un triangle ABC. L'énoncé et le codage (présent via le symbole de l'angle droit à l'intersection des droites au point A dans le code LaTeX) nous indiquent que le triangle ABC est rectangle en A. Lorsque l'on connaît deux longueurs dans un triangle rectangle et que l'on cherche la troisième (ici l'hypoténuse BC), le réflexe immédiat doit être le théorème de Pythagore.
Le raisonnement : On précise que le triangle ABC est rectangle en A. Selon l'égalité de Pythagore, nous avons : BC² = AB² + AC². En remplaçant par les valeurs numériques fournies : AC = 400 m et AB = 300 m. On obtient BC² = 300² + 400² = 90 000 + 160 000 = 250 000. Pour trouver BC, on extrait la racine carrée : BC = √250 000 = 500 m. Ce résultat est cohérent avec le contexte d'un parcours de course scolaire.
Analyse Question 2 : Démontrer la longueur ED avec Thalès
La deuxième question nous demande de montrer que ED mesure 750 mètres. Ici, la configuration change. Nous sommes face à ce qu'on appelle une 'configuration papillon' où deux triangles, ABC et CDE, sont liés par un sommet commun C. Les points A, C, E d'une part et B, C, D d'autre part sont alignés par construction (C est l'intersection des droites). Cependant, pour appliquer le théorème de Thalès, nous avons besoin de droites parallèles.
La démonstration du parallélisme : C'est le point de vigilance crucial. Les droites (AB) et (ED) sont toutes deux perpendiculaires à la droite (AE) (on le voit aux angles droits marqués en A et en E). Or, une propriété fondamentale de géométrie plane stipule que si deux droites sont perpendiculaires à une même troisième, alors elles sont parallèles entre elles. Donc (AB) // (ED).
Application du théorème : Maintenant que le parallélisme est prouvé, on applique Thalès dans les triangles ABC et EDC : CA/CE = CB/CD = AB/ED. On utilise le rapport connu CA/CE = 400/1000. On cherche ED, donc on utilise l'égalité 400/1000 = 300/ED. Par un produit en croix, on obtient ED = (1000 × 300) / 400 = 300 000 / 400 = 750 m. Le résultat est bien celui attendu par l'énoncé.
Analyse Question 3 : Calcul de la distance totale du parcours
La dernière question demande la longueur réelle du parcours ABCDE. Attention à ne pas survoler cette question qui semble simple mais cache un calcul intermédiaire. Le parcours complet est composé des segments [AB], [BC], [CD] et [DE].
Nous connaissons déjà : AB = 300 m, BC = 500 m (calculé en Q1) et DE = 750 m (donné en Q2). Il nous manque la longueur CD. Pour la trouver, on réutilise les rapports de Thalès établis précédemment : CB/CD = CA/CE. Soit 500/CD = 400/1000. On en déduit que CD = (500 × 1000) / 400 = 500 000 / 400 = 1250 m.
Calcul final : Distance totale = 300 + 500 + 1250 + 750 = 2800 mètres. Pour le Brevet, il est bon de convertir ce résultat : 2,8 km. Cela donne du sens à la réponse dans le cadre d'une course de collège.
Les Pièges à éviter lors de l'épreuve
1. **Oublier les unités** : Dans un problème de géométrie appliquée, ne pas mettre 'm' ou 'mètres' peut coûter des points de rédaction.
2. **Négliger la justification du parallélisme** : Beaucoup d'élèves utilisent Thalès directement sans prouver que (AB) // (ED). C'est une erreur de raisonnement majeure.
3. **Confondre Thalès et Pythagore** : Rappelez-vous : Pythagore calcule des longueurs dans un triangle rectangle, Thalès calcule des longueurs grâce au parallélisme.
Conseils de Rédaction pour maximiser ses points
Pour chaque théorème, respectez toujours la structure en trois parties : 'Je sais que', 'D'après le théorème de...', 'On a donc...'. Énoncez clairement les triangles et les points d'alignement. Une copie propre avec des calculs bien détaillés rassure le correcteur sur votre maîtrise de la méthodologie scientifique. Ce sujet de Wallis-et-Futuna 2017 est un excellent entraînement car il balaye l'essentiel de la géométrie de 3ème en un seul exercice cohérent.