Introduction aux théorèmes fondamentaux du Brevet
Cet exercice issu de la session 2017 de la zone Métropole est un modèle du genre. Il condense en un seul énoncé les deux piliers de la géométrie plane de troisième : le théorème de Pythagore et le théorème de Thalès. L'objectif ici n'est pas seulement de calculer des longueurs, mais de démontrer des propriétés géométriques (orthogonalité et parallélisme). Pour réussir cette épreuve, il est essentiel de bien identifier les configurations de triangles emboîtés et de savoir rédiger avec une rigueur mathématique irréprochable.
Analyse Question 1 : Démontrer qu'un triangle est rectangle
La première question nous demande de prouver que le triangle AFG est rectangle. Face à trois longueurs connues dans un triangle, le réflexe immédiat doit être l'utilisation de la réciproque du théorème de Pythagore. Les données extraites de la figure sont : $AF = 5$ cm, $FG = 3$ cm et $AG = 4$ cm.
La méthode est stricte : on identifie d'abord le plus long côté, ici $[AF]$. On calcule d'une part le carré de cette longueur : $AF^2 = 5^2 = 25$. D'autre part, on calcule la somme des carrés des deux autres côtés : $AG^2 + FG^2 = 4^2 + 3^2 = 16 + 9 = 25$. On constate que $AF^2 = AG^2 + FG^2$. L'égalité de Pythagore est vérifiée, donc le triangle AFG est rectangle en G. Attention à ne pas affirmer qu'il est rectangle dès le début du raisonnement, c'est la conclusion de votre calcul.
Analyse Question 2 : Application du théorème de Thalès
La deuxième partie sollicite le théorème de Thalès. L'énoncé précise que les droites (DE) et (FG) sont parallèles et que les points sont alignés. Nous sommes dans la configuration classique dite 'en triangle'. Pour calculer la longueur $AD$, nous devons établir l'égalité des rapports de proportionnalité : $AF/AD = AG/AE = FG/DE$.
Calculons d'abord $AE$. Les points A, G et E sont alignés dans cet ordre, donc $AE = AG + GE = 4 + 6,8 = 10,8$ cm. En utilisant le rapport $AF/AD = AG/AE$, nous obtenons $5/AD = 4/10,8$. Par un produit en croix, $AD = (5 \times 10,8) / 4 = 13,5$ cm. Enfin, pour en déduire $FD$, il suffit d'effectuer la soustraction des segments puisque F appartient à $[AD]$ : $FD = AD - AF = 13,5 - 5 = 8,5$ cm. La précision dans le calcul de $AE$ est la clé de cette question.
Analyse Question 3 : Réciproque de Thalès et parallélisme
La question finale porte sur le parallélisme des droites (FG) et (BC). C'est ici qu'intervient la réciproque du théorème de Thalès. Nous devons comparer les rapports des longueurs issus du sommet commun A : $AF/AB$ et $AG/AC$.
Données : $AB = AF + FB = 5 + 6,25 = 11,25$ cm et $AC = AG + GC = 4 + 5 = 9$ cm. Calculons les rapports : $AF/AB = 5 / 11,25 \approx 0,444$ et $AG/AC = 4 / 9 \approx 0,444$. Plus précisément, $5 / 11,25 = 500 / 1125 = 4/9$. Les rapports sont donc parfaitement égaux. Puisque les points A, F, B et A, G, C sont alignés dans le même ordre, la réciproque du théorème de Thalès permet d'affirmer que les droites (FG) et (BC) sont parallèles.
Les pièges à éviter lors de l'examen
Plusieurs erreurs classiques peuvent coûter des points :
1. Confondre le théorème et sa réciproque : utilisez le théorème pour calculer une longueur et la réciproque pour prouver un angle droit ou un parallélisme.
2. Oublier de vérifier l'alignement des points : c'est une condition indispensable pour Thalès.
3. Les erreurs d'unités : assurez-vous que toutes les longueurs sont exprimées dans la même unité (ici le cm) avant de commencer vos calculs.
Conseils de rédaction pour maximiser sa note
Pour séduire le correcteur, structurez votre réponse en trois étapes : 'Je sais que', 'Or, d'après le théorème de...', 'Donc...'. Citez explicitement les noms des théorèmes. Pour la réciproque de Pythagore, n'écrivez pas l'égalité $AF^2 = AG^2 + FG^2$ avant d'avoir calculé séparément chaque membre. Cette rigueur montre que vous maîtrisez la logique mathématique, ce qui est souvent plus valorisé que le résultat numérique final.