Introduction aux notions de Géométrie Plane
Cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2017 pour la zone Nouvelle-Calédonie est un classique absolu de l'épreuve de mathématiques. Il mobilise principalement le théorème de Pythagore dans un contexte de résolution de problème concret. L'objectif est de déterminer si un objet d'une certaine longueur (ici, un fusil sous-marin) peut entrer dans un contenant rectangulaire (une remorque) en exploitant la diagonale du fond de celle-ci. Ce type d'exercice permet d'évaluer la capacité de l'élève à extraire des données d'un schéma complexe, à modéliser une situation réelle par une figure géométrique simple et à appliquer une propriété fondamentale de la géométrie euclidienne.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
Pour aborder cet exercice avec succès, il faut d'abord décrypter les informations visuelles fournies par le schéma. On nous donne les dimensions d'une remorque : une largeur de $\np{1350}$ mm et une longueur de $\np{1800}$ mm. Attention, le schéma contient également une mesure de $\np{3000}$ mm qui correspond à la longueur totale incluant la flèche de la remorque ; cette donnée est un distracteur et ne doit pas être utilisée pour le calcul du fond de la remorque. L'énoncé précise explicitement que le fond de la remorque est un rectangle. De l'autre côté, nous avons un fusil sous-marin dont la longueur totale est de $\np{2100}$ mm. La question est de savoir si ce fusil peut être placé « à plat ».
Dans un rectangle, la plus grande longueur disponible « à plat » est la diagonale. Pour répondre à la question, nous devons donc calculer la longueur de cette diagonale. Si la diagonale est supérieure ou égale à $\np{2100}$ mm, alors le fusil peut loger dans la remorque en étant placé de biais.
Application du Théorème de Pythagore
Considérons le fond de la remorque comme un rectangle $ABCD$. En traçant la diagonale $[AC]$, on obtient un triangle $ABC$ rectangle en $B$. D'après le théorème de Pythagore, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypoténuse est égal à la somme des carrés des deux autres côtés. Nous avons donc la relation suivante : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. En remplaçant par les valeurs numériques de l'exercice : $AC^2 = 1800^2 + 1350^2$.
Effectuons les calculs étape par étape : $1800^2 = 3\,240\,000$ et $1350^2 = 1\,822\,500$. En additionnant ces deux résultats, nous obtenons $AC^2 = 5\,062\,500$. Pour trouver la longueur $AC$, il faut extraire la racine carrée de ce résultat : $AC = \sqrt{5\,062\,500}$. La calculatrice nous donne $AC = 2250$. La diagonale du fond de la remorque mesure donc $\np{2250}$ mm.
Interprétation du Résultat et Conclusion
Maintenant que nous avons la longueur maximale disponible, il suffit de comparer cette valeur à la longueur du fusil sous-marin. Le fusil mesure $\np{2100}$ mm et la diagonale mesure $\np{2250}$ mm. Puisque $2250 > 2100$, la longueur de la diagonale est strictement supérieure à celle du fusil. Par conséquent, il est tout à fait possible de placer le fusil sous-marin à plat dans la remorque, à condition de le positionner en diagonale.
Les Pièges à Éviter
Le premier piège de cet exercice est l'utilisation de la mauvaise dimension. Beaucoup d'élèves sont tentés d'utiliser la valeur de $\np{3000}$ mm. Or, cette mesure inclut la barre d'attelage, qui ne fait pas partie de l'espace de stockage « à plat » du fusil. Le second piège concerne les unités : bien qu'ici toutes les mesures soient en millimètres, il est crucial de vérifier la cohérence des unités avant de commencer tout calcul. Enfin, veillez à ne pas oublier l'étape de la racine carrée. Trouver $5\,062\,500$ sans calculer $\sqrt{5\,062\,500}$ rendrait la comparaison impossible et le raisonnement incomplet.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, ta rédaction doit être rigoureuse. Commence par nommer le triangle rectangle sur lequel tu travailles (même si tu dois nommer les sommets toi-même sur ton brouillon). Énonce clairement le théorème : « Dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, d'après le théorème de Pythagore... ». Présente tes calculs de manière aérée. N'oublie jamais de conclure par une phrase explicite qui répond à la question posée, en effectuant la comparaison numérique ($2250 > 2100$). Rappelle-toi que même si tu fais une erreur de calcul, citer le bon théorème et montrer une démarche logique te rapportera une grande partie des points.