Introduction aux notions de Proportionnalité et d'Aires au Brevet

L'exercice 7 du sujet de mathématiques du Brevet de Pondichéry 2017 est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il mêle des notions fondamentales de proportionnalité, de géométrie plane (calcul d'aires) et de gestion de données de la vie courante. Dans le cadre de la préparation au DNB (Diplôme National du Brevet), ce type d'exercice 'concret' est fréquent car il évalue la capacité de l'élève à extraire des informations d'un texte, à manipuler des unités de mesure et à structurer un raisonnement logique complexe. Nous allons décomposer ici chaque étape pour maîtriser les concepts de masse, de surface et de tarifs proportionnels.

Analyse de la Question 1 : Le tarif est-il proportionnel à la masse ?

La première question nous demande d'étudier la relation entre la masse d'une lettre et son tarif d'affranchissement à partir d'un tableau de données. En mathématiques, deux grandeurs sont dites proportionnelles si l'on peut passer de l'une à l'autre en multipliant par un nombre constant, appelé coefficient de proportionnalité. Pour vérifier cela, nous devons tester le rapport entre le tarif et la masse pour différentes colonnes du tableau.

Considérons la première ligne : pour une masse jusqu'à 20g, le tarif est de 0,80 €. Le rapport est de $0,80 / 20 = 0,04$.
Passons à la deuxième ligne : pour une masse jusqu'à 100g, le tarif est de 1,60 €. Le rapport est ici de $1,60 / 100 = 0,016$.
Puisque $0,04 \neq 0,016$, les rapports ne sont pas égaux. La conclusion est immédiate : le tarif d'affranchissement n'est pas proportionnel à la masse de la lettre. Ce résultat est logique dans la vie réelle (effet de palier), mais il est crucial de le démontrer par le calcul pour obtenir les points au Brevet.

Analyse de la Question 2 : Déterminer la masse totale de l'envoi

Cette question est le cœur de l'exercice et demande une rigueur méthodologique exemplaire. Alban envoie une enveloppe contenant 4 feuilles A4 (2 lettres de motivation + 2 CV). Pour choisir le bon tarif, il nous faut calculer la masse totale de l'envoi, composée de la masse de l'enveloppe et de la masse des 4 feuilles.

Étape 1 : Calcul de la masse d'une enveloppe

Le sujet indique que 50 enveloppes pèsent 175g. Contrairement aux tarifs postaux, ici la masse est proportionnelle au nombre d'enveloppes (chaque enveloppe est identique). Pour trouver la masse d'une seule enveloppe, on effectue le calcul suivant :
$175 / 50 = 3,5$ g.
Il est impératif de noter ce résultat intermédiaire avec son unité.

Étape 2 : Calcul de l'aire d'une feuille A4

Les dimensions d'une feuille A4 sont $21$ cm par $29,7$ cm. Avant de calculer l'aire, il est judicieux de convertir ces dimensions en mètres pour faciliter l'utilisation du grammage (qui est en g/m²).
Largeur = $0,21$ m et Longueur = $0,297$ m.
L'aire d'un rectangle se calcule par la formule : $\text{Aire} = \text{Longueur} \times \text{Largeur}$.
$\text{Aire}_{A4} = 0,21 \times 0,297 = 0,06237$ m².

Étape 3 : Calcul de la masse des 4 feuilles

Le grammage est de 80 g/m². Cela signifie qu'un mètre carré de papier pèse 80 grammes. Pour trouver la masse d'une feuille, on multiplie son aire par le grammage :
$\text{Masse}_{1\text{feuille}} = 0,06237 \times 80 = 4,9896$ g.
Comme Alban insère 4 feuilles dans son enveloppe :
$\text{Masse}_{4\text{feuilles}} = 4 \times 4,9896 = 19,9584$ g.

Étape 4 : Masse totale et choix du tarif

En additionnant la masse de l'enveloppe et celle des feuilles, on obtient la masse totale :
$3,5 + 19,9584 = 23,4584$ g.
Maintenant, nous nous reportons au tableau de la question 1. La masse de 23,4584 g dépasse le premier palier de '20 g'. Il doit donc choisir le tarif correspondant à la catégorie 'jusqu'à 100 g'.
Le tarif à choisir est donc de 1,60 €.

Les Pièges Classiques à Éviter

Dans cet exercice, l'erreur la plus fréquente est d'oublier de convertir les centimètres en mètres avant de calculer l'aire, ou de ne pas convertir les cm² en m² à la fin. Rappelez-vous : $1 m^2 = 10\,000 cm^2$. Si vous travaillez en centimètres, l'aire est de $623,7 cm^2$. La masse de la feuille serait alors $(623,7 / 10\,000) \times 80$, ce qui est plus complexe et source d'erreurs de virgule.

Un autre piège est de négliger la masse de l'enveloppe ou de ne compter qu'une seule feuille au lieu de quatre. Lisez bien l'énoncé : '2 copies de sa lettre... et 2 copies de son CV'.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en utilisant des titres ou des puces. Commencez chaque étape par une phrase d'explication ('Je calcule la masse d'une enveloppe...', 'Je calcule l'aire d'une feuille...'). Encadrez vos résultats finaux et n'oubliez jamais les unités ($g$, $m^2$, $€$). Une rédaction claire montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement les calculs, mais aussi la logique globale du problème.