Introduction aux Probabilités au Brevet
Le chapitre sur les probabilités est un pilier de l'épreuve de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB). Dans cet exercice issu de la session 2017 en Polynésie, nous abordons la notion d'expérience aléatoire à travers un contexte gourmand : le mot BAKLAVA et la composition d'un sachet de pâtisseries. L'objectif est de maîtriser le dénombrement, le calcul de probabilités simples et la comparaison de probabilités après une modification de l'univers (tirage sans remise).
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'exercice se décompose en deux parties distinctes qui testent des compétences fondamentales en statistiques et probabilités.
1. Identification des issues (Question 1)
Dans la première question, on s'intéresse aux issues d'une expérience aléatoire simple : tirer une lettre au hasard du mot "BAKLAVA". Une issue est un résultat possible de l'expérience. Ici, bien qu'il y ait 7 lettres au total dans le sachet, il n'y a que 5 issues distinctes. En effet, les lettres répétées ne comptent qu'une seule fois dans la liste des résultats possibles. Les issues sont donc : B, A, K, L et V. Il est crucial pour un élève de 3ème de ne pas confondre le nombre total d'objets (7) avec le nombre d'issues distinctes (5).
2. Calcul de probabilités (Question 2)
Pour la question 2a, nous cherchons la probabilité de tirer la lettre L. Dans une situation d'équiprobabilité (les baklavas sont indiscernables au toucher), la probabilité est donnée par le rapport : (nombre de cas favorables) / (nombre total de cas). Le mot BAKLAVA contient une seule lettre L sur un total de 7 lettres. Ainsi, P(L) = 1/7.
La question 2b introduit l'événement contraire : "La lettre tirée n'est pas un A". Deux méthodes sont possibles ici. La première consiste à compter toutes les lettres qui ne sont pas des A (B, K, L, V), ce qui donne 4 lettres sur 7. La probabilité est donc 4/7. La deuxième méthode utilise la propriété de l'événement contraire : P(non A) = 1 - P(A). Comme il y a trois 'A' dans le mot, P(A) = 3/7. Par conséquent, P(non A) = 1 - 3/7 = 4/7. Cette rigueur dans le calcul est ce qu'attendent les correcteurs du brevet.
3. Probabilités évolutives et comparaison (Question 3)
La dernière partie est la plus complexe car elle demande une analyse de situation après un premier événement. Le sachet d'Enzo contient initialement 10 baklavas : 2 pistaches, 4 noisettes, et donc 4 noix (car 10 - 2 - 4 = 4). Enzo mange un baklava à la noix. L'état du sachet change immédiatement : il ne reste plus que 9 baklavas au total, et seulement 3 baklavas à la noix.
Laura affirme qu'il a maintenant "plus de chances" de piocher un gâteau à base de noix. Calculons la nouvelle probabilité. Avant de manger le premier gâteau, la probabilité de tirer une noix était de 4/10, soit 0,4. Après avoir mangé une noix, la probabilité devient 3/9 (car il reste 3 noix sur 9 gâteaux au total). 3/9 se simplifie en 1/3, ce qui environne 0,33. En comparant 0,4 et 0,33, on constate que la probabilité a diminué. Laura a donc tort. Ce type de question nécessite une justification numérique précise pour obtenir l'intégralité des points.
Les Pièges à Éviter
Le piège classique dans cet exercice est d'oublier de soustraire l'élément retiré au dénominateur lors de la question 3. Beaucoup d'élèves gardent un total de 10, alors que le sachet n'en contient plus que 9. Un autre piège est de ne pas citer la formule ou le raisonnement de proportionnalité. Rappelez-vous : au Brevet, le raisonnement compte autant que le résultat final.
Conseils de Rédaction
Pour maximiser vos points, commencez toujours par définir l'univers : "Il y a au total 10 baklavas...". Utilisez des phrases claires pour vos conclusions, comme : "La probabilité passe de 4/10 à 3/9, or 3/9 < 4/10, donc l'affirmation de Laura est fausse". Enfin, assurez-vous que vos fractions sont simplifiées au maximum quand cela est possible, même si ce n'est pas explicitement demandé.
Synthèse des Notions Clés
Ce sujet de Polynésie 2017 illustre parfaitement la transition entre les probabilités intuitives et le calcul formel. Maîtriser le passage du texte aux chiffres est la clé de la réussite. En s'entraînant sur ces thématiques, l'élève développe sa capacité d'analyse critique, essentielle non seulement pour les mathématiques mais aussi pour la vie quotidienne.