Introduction aux probabilités et à l'arithmétique au Brevet

Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2017 pour la zone Amérique du Nord, est un modèle du genre pour tester deux piliers du programme de troisième : les probabilités et l'arithmétique. La force de cet énoncé est de mêler la manipulation d'objets (boules dans une urne) avec des concepts théoriques comme les multiples, les diviseurs et les nombres premiers. Maîtriser ce type d'exercice est crucial car il revient quasiment chaque année sous une forme ou une autre.

Analyse Méthodique de l'Exercice

Question 1 : Comparaison de probabilités

Dans cette première étape, l'univers est composé de 12 issues possibles, puisque les boules sont numérotées de $1$ à $12$. On est dans une situation d'équiprobabilité car les boules sont indiscernables au toucher.

Pour déterminer s'il est plus probable d'obtenir un numéro pair ou un multiple de $3$, listons les issues favorables :
- Numéros pairs : $\{2, 4, 6, 8, 10, 12\}$, soit 6 issues.
- Multiples de $3$ : $\{3, 6, 9, 12\}$, soit 4 issues.
La probabilité d'un numéro pair est donc de $\frac{6}{12} = 0,5$ alors que celle d'un multiple de $3$ est de $\frac{4}{12} \approx 0,33$. Il est donc plus probable d'obtenir un numéro pair.

Question 2 : L'événement certain

La question demande la probabilité d'obtenir un numéro inférieur à $20$. En examinant notre urne, tous les numéros vont de $1$ à $12$. Comme tous ces nombres sont strictement inférieurs à $20$, l'événement est qualifié de certain. En mathématiques, la probabilité d'un événement certain est toujours égale à $1$. Il n'y a aucun calcul complexe ici, mais une analyse logique de l'ensemble des issues.

Question 3 : Arithmétique et nouvelle urne

Cette question est la plus dense. Elle nécessite un raisonnement en deux temps. D'abord, l'étape de retrait : on enlève les diviseurs de $6$. Les diviseurs de $6$ sont les nombres qui divisent $6$ sans reste : $\{1, 2, 3, 6\}$.
L'urne contenait 12 boules. On en retire 4. Il reste donc $12 - 4 = 8$ boules dans l'urne. L'ensemble des numéros restants est $\{4, 5, 7, 8, 9, 10, 11, 12\}$.

Ensuite, identifions les nombres premiers parmi les restants. Un nombre premier n'a que deux diviseurs (1 et lui-même). Dans notre liste :
- $5$ est premier.
- $7$ est premier.
- $11$ est premier.
Les autres ne le sont pas ($4$ est divisible par $2$, $8$ par $2$, $9$ par $3$, $10$ par $5$, $12$ par $2$). Nous avons donc 3 issues favorables sur un total de 8 boules.
Le calcul de la probabilité est : $P = \frac{3}{8}$. En effectuant la division, on obtient exactement $0,375$.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège classique en arithmétique est l'oubli du chiffre $1$. Attention : $1$ n'est pas un nombre premier ! Un nombre premier doit avoir exactement deux diviseurs distincts. Le chiffre $1$ n'en a qu'un seul. Un autre piège réside dans le calcul des diviseurs : beaucoup d'élèves oublient que le nombre lui-même (ici $6$) est son propre diviseur.

En probabilité, l'erreur fréquente est de ne pas mettre à jour le dénominateur (le nombre total de boules) après avoir modifié le contenu de l'urne. Si vous gardez $12$ au lieu de $8$ pour la dernière question, votre résultat sera faux malgré un bon raisonnement sur les nombres premiers.

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez votre réponse :
1. Citez la formule : $P = \frac{\text{nombre d'issues favorables}}{\text{nombre total d'issues}}$.
2. Listez explicitement les ensembles (ex: "Les diviseurs de 6 sont...").
3. Concluez par une phrase simple mais précise. Une probabilité peut être donnée sous forme de fraction, de nombre décimal ou de pourcentage, sauf si l'énoncé impose un format (comme ici $0,375$).