Introduction aux Probabilités au Brevet

Les probabilités constituent un pilier majeur du programme de mathématiques de troisième (3ème). Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2017 pour la zone Wallis-et-Futuna, illustre parfaitement la double compétence attendue des élèves : la compréhension du calcul de base et la capacité à modéliser une situation par une équation. Dans le cadre de cet exercice, nous explorons une expérience aléatoire composée de deux étapes : le tirage d'une boule et la rotation d'une roue de loterie. Maîtriser ces notions est essentiel pour réussir l'épreuve de mathématiques, car les probabilités sont quasiment systématiquement présentes dans les sujets officiels.

Analyse Méthodique de l'Exercice

L'exercice nous présente un jeu de kermesse. Pour gagner, deux conditions doivent être réunies successivement : tirer une boule rouge, puis obtenir un multiple de 3. Cette structure d'expérience aléatoire à deux épreuves nécessite une attention particulière sur la notion d'indépendance.

Question 1 : La roue de loterie et les multiples de 3

La première question se focalise uniquement sur la roue. La roue est divisée en 6 secteurs égaux, numérotés de 1 à 6. Il s'agit d'une situation d'équiprobabilité. L'univers des issues est $\Omega = \{1, 2, 3, 4, 5, 6\}$. On cherche la probabilité d'obtenir un multiple de 3. Les multiples de 3 compris entre 1 et 6 sont 3 et 6. Il y a donc 2 cas favorables sur 6 cas possibles. La formule fondamentale des probabilités s'applique : $P = \frac{\text{nombre de cas favorables}}{\text{nombre de cas possibles}} = \frac{2}{6}$. En simplifiant la fraction par 2, on obtient $\frac{1}{3}$. Il est crucial de toujours simplifier ses fractions au Brevet pour montrer sa maîtrise du calcul numérique.

Question 2 : Calcul de la probabilité globale de gain

Le gain du gros lot dépend de deux événements indépendants. L'événement A : 'Tirer une boule rouge' et l'événement B : 'Obtenir un multiple de 3'. Calculons d'abord la probabilité de l'événement A. L'urne contient 3 boules vertes, 2 boules bleues et 3 boules rouges, soit un total de $3 + 2 + 3 = 8$ boules. La probabilité de tirer une boule rouge est donc $P(A) = \frac{3}{8}$. L'expérience étant composée de deux étapes indépendantes, la probabilité que les deux événements se produisent simultanément (A et B) est le produit de leurs probabilités respectives. Ainsi, $P(\text{Gain}) = P(A) \times P(B) = \frac{3}{8} \times \frac{1}{3}$. En effectuant le produit, on obtient $\frac{3}{24}$, ce qui se simplifie en $\frac{1}{8}$. En écriture décimale, cela donne 0,125, soit 12,5 % de chances de gagner.

Question 3 : Modification de l'urne et équation

Cette question est plus complexe car elle introduit une variable. On veut que la probabilité de tirer une boule rouge soit de 0,5. On ne change que le nombre de boules rouges. Appelons $x$ le nouveau nombre de boules rouges. Le nombre total de boules dans l'urne devient alors : $3 \text{ (vertes)} + 2 \text{ (bleues)} + x \text{ (rouges)} = 5 + x$. La probabilité de tirer une boule rouge est alors exprimée par le quotient $\frac{x}{5+x}$. On pose l'équation suivante : $\frac{x}{5+x} = 0,5$. Pour résoudre cette équation, on peut utiliser le produit en croix ou multiplier par le dénominateur : $x = 0,5(5 + x)$. En développant, on a $x = 2,5 + 0,5x$. En isolant $x$, on obtient $0,5x = 2,5$, d'où $x = \frac{2,5}{0,5} = 5$. Il faut donc mettre 5 boules rouges dans l'urne au total.

Les Pièges à Éviter

Attention à ne pas confondre le nombre de boules à AJOUTER avec le nombre de boules total de rouges. Ici, la question demande 'Combien faudra-t-il mettre en tout de boules rouges'. La réponse est 5. Si la question avait été 'Combien de boules faut-il ajouter', la réponse aurait été $5 - 3 = 2$. Un autre piège fréquent concerne le calcul des probabilités de deux événements successifs : n'additionnez jamais les probabilités, multipliez-les ! Enfin, vérifiez toujours que votre probabilité finale est comprise entre 0 et 1. Un résultat comme 1,2 est mathématiquement impossible et indique une erreur de raisonnement.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points, soignez votre rédaction : 1. Nommez clairement les événements. 2. Justifiez vos calculs par des phrases courtes comme 'Il y a équiprobabilité car les secteurs de la roue sont identiques'. 3. Présentez vos résultats sous forme de fraction simplifiée, puis de valeur décimale si nécessaire. 4. Pour la question 3, expliquez clairement le choix de l'inconnue $x$ et détaillez les étapes de la résolution de l'équation.