Introduction aux notions d'Arithmétique et de Fractions
L'exercice 6 du sujet de Brevet Wallis-et-Futuna 2017 est un cas d'école pour tester les compétences des élèves de 3ème sur deux piliers majeurs du programme de mathématiques : l'arithmétique et la manipulation des fractions. À travers une mise en situation concrète dans un laboratoire scientifique, cet exercice demande de modéliser une situation réelle par des calculs de proportions. Nous allons explorer ici comment utiliser les nombres premiers pour démontrer l'irréductibilité d'une fraction et comment la décomposition en produits de facteurs premiers facilite la simplification de rapports complexes.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous place dans le laboratoire A avec 5 groupes de 29 souris. La première étape cruciale consiste à identifier correctement l'effectif total. Le calcul est simple mais ne doit pas être négligé : $5 \times 29 = 145$. C'est le dénominateur de notre proportion. Ensuite, l'analyse des souris malades demande de distinguer les groupes vaccinés (0 malade) des groupes non vaccinés. On nous dit que 3 groupes sur 5 ont été vaccinés, il reste donc 2 groupes non vaccinés. Dans chacun de ces 2 groupes, 23 souris sont malades, soit un total de $2 \times 23 = 46$ souris malades. On obtient ainsi la fraction $\dfrac{46}{145}$.
Justification de l'irréductibilité : La force des nombres premiers
La question 1.b demande de justifier pourquoi $\dfrac{46}{145}$ est irréductible sans calculatrice. C'est ici que la liste des nombres premiers fournie dans l'énoncé devient votre meilleure alliée. Pour montrer qu'une fraction est irréductible, il faut prouver que le numérateur et le dénominateur n'ont aucun diviseur commun autre que 1. En décomposant 46, on voit rapidement que $46 = 2 \times 23$. Les seuls diviseurs de 46 sont 1, 2, 23 et 46. En testant 145 : il n'est pas pair (pas divisible par 2), la somme de ses chiffres ($1+4+5=10$) n'est pas dans la table de 3, mais il finit par 5, donc il est divisible par 5. $145 = 5 \times 29$. En comparant les diviseurs de 46 (2, 23) et de 145 (5, 29), on constate qu'aucun nombre premier n'est commun. La fraction est donc irréductible.
Décomposition et Simplification (Laboratoire B)
Dans la seconde partie, l'exercice bascule sur une méthode plus formelle d'arithmétique avec les nombres 140 et 870. La décomposition en produit de facteurs premiers est une compétence clé du Brevet. Pour 140 : il est pair ($140 = 2 \times 70$), encore pair ($70 = 2 \times 35$), divisible par 5 ($35 = 5 \times 7$). On obtient $140 = 2^2 \times 5 \times 7$. Pour 870 : il se termine par 0, donc $870 = 10 \times 87$. On sait que $10 = 2 \times 5$ et $87$ est divisible par 3 car $8+7=15$ ($87 = 3 \times 29$). On obtient $870 = 2 \times 3 \times 5 \times 29$. Pour simplifier la fraction $\dfrac{140}{870}$, il suffit de barrer les facteurs communs au numérateur et au dénominateur (un 2 et un 5), ce qui revient à diviser par 10. Il reste $\dfrac{2 \times 7}{3 \times 29} = \dfrac{14}{87}$.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal dans ce type d'exercice est l'erreur de lecture. Beaucoup d'élèves oublient de multiplier 23 par le nombre de groupes non vaccinés (2). Une autre erreur fréquente est de s'arrêter à une décomposition incomplète (par exemple, laisser 87 sans vérifier s'il est divisible par 3). Enfin, veillez à ne pas confondre 'chiffre des unités' et 'somme des chiffres' pour les critères de divisibilité par 3 et 9. Rappelez-vous que pour l'irréductibilité, si vous utilisez la liste des nombres premiers fournie, vous devez montrer explicitement que vous avez testé les facteurs potentiels.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points : 1. Détaillez chaque étape de calcul, même les multiplications simples. 2. Pour la décomposition, écrivez clairement l'égalité sous forme de produit. 3. Pour la simplification, montrez les facteurs que vous 'supprimez'. Une rédaction propre montre au correcteur que le raisonnement est maîtrisé et que le résultat n'est pas le fruit du hasard ou d'une simple manipulation de calculatrice. Utilisez des phrases de conclusion telles que : 'Le seul diviseur commun étant 1, la fraction est irréductible'.