Introduction : Les fonctions et la proportionnalité au service de la biologie

Cet exercice issu du Brevet des collèges 2017 (Série Générale - Métropole) est un cas d'école particulièrement intéressant pour les élèves de 3ème. Il mêle plusieurs compétences fondamentales du programme de mathématiques : la maîtrise des écritures scientifiques, l'utilisation d'un tableur, la distinction entre croissance proportionnelle et croissance exponentielle, ainsi que l'analyse graphique de fonctions. L'énoncé nous place dans un contexte concret : l'étude de la prolifération des bactéries légionelles et l'efficacité d'un traitement antibiotique. Comprendre comment modéliser un phénomène biologique par des outils mathématiques est une compétence clé pour l'épreuve.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Conversion et Écriture Scientifique

La première question demande de convertir la taille d'une bactérie de 0,8 micromètre ($\mu$m) en mètres, puis de donner le résultat en notation scientifique. Rappelons qu'un micromètre est égal à un millionième de mètre, soit $10^{-6}$ m. Ainsi, $0,8 \mu m = 0,8 \times 10^{-6}$ m. Pour obtenir la forme scientifique réglementaire (un seul chiffre non nul avant la virgule), on déplace la virgule d'un rang vers la droite : $8 \times 10^{-7}$ m. C'est une manipulation de puissances de 10 indispensable pour le Brevet.

2. Modélisation par tableur et suite logique

La deuxième partie introduit la notion de doublement de population. Si la population double tous les quarts d'heure, nous sommes face à une croissance qui n'est pas linéaire.

• Formule tableur : Dans la cellule B3, pour calculer le nouveau nombre de bactéries à partir de la cellule précédente (B2), la formule est =B2*2. C'est le principe de récurrence simple appliqué aux tableurs.
• Calcul à une heure : Une heure contient 4 quarts d'heure. Si l'on part de 100 bactéries ($t=0$), au bout de 15 min on en a 200, à 30 min 400, à 45 min 800, et à 1h (4 quarts d'heure) on atteint $100 \times 2^4 = 1600$ bactéries.
• Proportionnalité : Le nombre de bactéries n'est pas proportionnel au temps. En effet, le coefficient de passage entre le temps et le nombre de bactéries n'est pas constant ($100/0$ est impossible, $200/1=200$, $400/2=200$ mais $800/3 \approx 266$). La croissance est exponentielle, pas linéaire.
• Seuil critique : Pour dépasser 10 000 bactéries, on continue les puissances de 2 : $1600 \times 2 = 3200$ (5 quarts d'heure), $3200 \times 2 = 6400$ (6 quarts d'heure), $6400 \times 2 = 12800$ (7 quarts d'heure). La population dépasse 10 000 après 7 quarts d'heure (soit 1h45).

3. Analyse graphique et efficacité antibiotique

La troisième partie utilise une représentation graphique d'une fonction décroissante modélisant l'action d'un antibiotique. L'élève doit savoir lire des images et des antécédents.

• Lecture d'image : À $t=3$h, on projette verticalement jusqu'à la courbe, puis horizontalement vers l'axe des ordonnées. On lit environ 5 000 bactéries.
• Lecture d'antécédent : Pour 6 000 bactéries, on projette horizontalement depuis l'axe des ordonnées. On trouve environ 2,2 heures (soit environ 2h 12min).
• Étude de l'efficacité : C'est la question la plus complexe. Réduire de 80% signifie qu'il ne reste que 20% de la population initiale. Population initiale = $10 000$. Calcul : $10 000 \times 0,20 = 2 000$. On cherche graphiquement quand la population atteint 2 000. Le graphique montre que cela se produit vers $t \approx 7,2$ heures. L'antibiotique est donc efficace s'il peut agir sur cette durée.

Les Pièges à Éviter

Attention à la confusion entre 'nombre de quarts d'heure' et 'temps en heures'. Dans le tableur, l'unité est le quart d'heure, alors que sur le graphique final, l'unité est l'heure. Ne pas convertir ces unités mènerait à des erreurs de lecture fatales. Un autre piège classique est d'affirmer que la croissance est proportionnelle simplement parce qu'elle 'augmente tout le temps' : la proportionnalité exige une droite passant par l'origine, ce qui n'est pas le cas ici.

Conseils de Rédaction

Pour obtenir le maximum de points :
1. Justifiez toujours vos calculs de tableur en écrivant la formule précédée du signe égal.
2. Pour les lectures graphiques, laissez apparaître les traits de construction en pointillés sur votre copie (ou le sujet rendu).
3. Pour la question sur l'efficacité, détaillez bien le calcul du pourcentage restant ($100% - 80% = 20%$) avant de procéder à la lecture graphique.