Introduction aux Fonctions et à la Modélisation Thermique

L'exercice 2 du sujet de Brevet 2017 pour les centres étrangers est une étude de cas pratique mêlant l'analyse de données réelles et la manipulation algébrique. Il mobilise trois compétences clés du programme de 3ème : l'interprétation de fonctions représentées graphiquement, le travail sur les fractions à travers des formules physiques, et la résolution d'équations simples pour isoler une variable. Cet exercice est particulièrement intéressant car il place les mathématiques au service du développement durable et de la norme RT2012, un thème récurrent dans les épreuves de mathématiques du Diplôme National du Brevet (DNB).

Analyse Méthodique de la Partie 1 : Lecture Graphique

La première partie repose exclusivement sur l'analyse de graphiques représentant l'évolution de la température en fonction du temps. Voici le cheminement intellectuel attendu :

1. Identification de la température initiale : Pour répondre à la question sur la température avant la mise en chambre froide, l'élève doit lire l'ordonnée à l'origine (pour $t = 0$). Sur les trois graphiques, on observe un palier initial. La courbe commence à la graduation 20 sur l'axe des ordonnées. La réponse est donc $20 ^\circ C$. Il est crucial de préciser l'unité pour ne pas perdre de points de rédaction.

2. Durée de l'expérience : L'exercice demande si l'expérience dure plus de 2 jours. Le candidat doit d'abord convertir 2 jours en heures : $2 \times 24 = 48$ heures. En observant l'axe des abscisses (Durée en heures), on voit que les relevés vont jusqu'à 100 heures. Comme 100 est supérieur à 48, l'expérience a effectivement duré plus de deux jours. La justification doit impérativement inclure le calcul de conversion temporel.

3. Comparaison de performance (Notion de pente) : La maquette la plus performante est celle qui garde la chaleur le plus longtemps. Graphiquement, c'est celle dont la courbe descend le plus lentement vers la température de consigne ($6 ^\circ C$).
- Maquette A : atteint $6 ^\circ C$ à environ $t=60$h.
- Maquette B : atteint $6 ^\circ C$ à environ $t=70$h.
- Maquette C : atteint $6 ^\circ C$ à environ $t=55$h.
C'est donc la Maquette B qui possède l'isolant le plus performant car la chute de température y est la plus lente.

Analyse Méthodique de la Partie 2 : Manipulation de Formules et Équations

La deuxième partie déplace le curseur vers l'utilisation d'une formule de type rationnel (fraction) : $R = \frac{e}{c}$.

1. Vérification de la norme RT2012 : Noa utilise de la laine de verre ($c = 0,035$) avec une épaisseur $e = 15$ cm.
Attention au piège de l'unité : La formule impose $e$ en mètres. Il faut donc convertir 15 cm en 0,15 m.
Calcul du quotient : $R = \frac{0,15}{0,035} \approx 4,28$.
Puisque $4,28 \ge 4$, la maison de Noa respecte la norme BBC. L'élève doit ici montrer sa maîtrise du calcul avec des nombres décimaux et l'usage de la calculatrice pour comparer un résultat à un seuil donné.

2. Résolution d'une équation pour Camille : Camille veut $R = 5$ avec du liège ($c = 0,04$). On cherche $e$. On pose l'équation : $5 = \frac{e}{0,04}$.
Pour isoler $e$, on multiplie les deux membres par 0,04 : $e = 5 \times 0,04$.
Le résultat est $e = 0,2$ mètre, soit 20 cm. Cette question teste la capacité du candidat à transformer une formule littérale, une compétence fondamentale pour le passage en classe de Seconde.

Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction

Le premier piège est l'oubli de conversion. Dans la partie 2, utiliser 15 au lieu de 0,15 fausse totalement le résultat. Toujours vérifier la cohérence des unités citées dans l'énoncé.
Le second piège est la justification incomplète. Dire que la maquette B est la meilleure sans citer de valeurs temporelles lues sur le graphique est souvent sanctionné par les correcteurs.
Conseil de professeur : Utilisez des phrases de type "Je lis sur le graphique que..." et encadrez vos résultats finaux. Pour les équations, rappelez toujours la formule utilisée avant d'injecter les données numériques.

Lien avec le Programme de Troisième

Cet exercice couvre une large partie du socle commun :
- Grandeurs et mesures : Conversion d'unités (longueur, temps).
- Algèbre : Résolution d'équations du premier degré et manipulation de quotients.
- Organisation et gestion de données : Lecture et interprétation de graphiques complexes (plusieurs courbes, axes gradués).
En maîtrisant ce type d'exercice, vous vous assurez une base solide pour les épreuves de sciences (Physique-Chimie) où ces manipulations de formules sont quotidiennes.