Introduction à l'Arithmétique au Brevet
L'arithmétique est une branche fondamentale des mathématiques au collège, et cet exercice issu du sujet de Nouvelle-Calédonie 2017 en est une illustration parfaite. Les notions abordées ici, principalement la recherche du plus grand commun diviseur (PGCD) et la décomposition en facteurs premiers, sont des piliers du programme de 3ème. Dans cet énoncé, nous suivons Antoine, un pêcheur qui doit organiser sa récolte de $30$ poissons et $500$ coquillages en paniers identiques. L'objectif pédagogique est de comprendre comment optimiser une répartition équitable sans aucun reste.
Analyse Méthodique de l'Exercice
L'énoncé nous donne deux valeurs clés : $30$ et $500$. La contrainte principale est de former le « plus grand nombre possible de paniers identiques » tout en épuisant totalement le stock. Cette formulation est le signal mathématique indiquant que nous devons chercher un diviseur commun aux deux nombres, et plus précisément le plus grand d'entre eux.
Question 1 : Recherche du nombre maximal de paniers
Pour répondre à cette question, il faut identifier que le nombre de paniers doit diviser à la fois le nombre de poissons ($30$) et le nombre de coquillages ($500$). Comme on veut que ce nombre soit le plus grand possible, on cherche le PGCD de $30$ et $500$.
Plusieurs méthodes s'offrent à l'élève :
- La liste des diviseurs : On liste les diviseurs de $30$ : $1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30$. On cherche ensuite lequel de ces nombres est le plus grand diviseur de $500$. On teste $30$ (non), $15$ (non), $10$ (oui : $500 = 10 \times 50$).
- L'algorithme d'Euclide : On effectue les divisions successives. $500 = 30 \times 16 + 20$. Puis $30 = 20 \times 1 + 10$. Enfin $20 = 10 \times 2 + 0$. Le dernier reste non nul est $10$.
La conclusion est donc qu'Antoine peut concevoir au maximum $10$ paniers identiques.
Question 2 : Composition de chaque panier
Une fois le nombre de paniers identifié ($10$), la composition se déduit par une simple division. Puisqu'il y a $30$ poissons répartis dans $10$ paniers, chaque panier contiendra $30 \div 10 = 3$ poissons. De même, pour les coquillages, $500 \div 10 = 50$ coquillages par panier. La justification doit impérativement montrer ces calculs pour valider les points.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente est de ne pas justifier pourquoi on utilise le PGCD. Un élève qui donne le résultat « 10 » sans expliquer qu'il cherche le plus grand diviseur commun perdra une partie des points de rédaction. Attention également à ne pas confondre le nombre de paniers avec le nombre d'objets par panier. Relisez bien la question : on demande le nombre de paniers au maximum en premier, puis le contenu.
Un autre piège classique est lié au texte d'introduction : l'énoncé précise que « toute trace de recherche sera prise en compte ». Si vous n'arrivez pas à trouver le PGCD, listez au moins quelques diviseurs communs (comme 2 ou 5) pour montrer que vous avez compris le concept de partage équitable.
Conseils de Rédaction pour l'Examen
Pour obtenir la note maximale, structurez votre réponse comme suit :
- Identifier la notion : Commencez par écrire : « On cherche le plus grand nombre de paniers divisant 30 et 500, on cherche donc le PGCD(30 ; 500). »
- Présenter le calcul : Détaillez votre méthode (Euclide ou décomposition).
- Conclure avec les unités : « Le nombre maximal de paniers est 10. »
- Calculer la composition : Faites deux phrases distinctes pour les poissons et les coquillages.
En arithmétique, la clarté du raisonnement est aussi importante que la justesse du résultat numérique.