Introduction : L'Algorithmique au Brevet de Mathématiques

L'exercice 5 du sujet de Brevet Amerique du Nord 2017 est un cas d'école concernant l'enseignement de l'algorithmique et de la programmation en classe de 3ème. Ce thème, désormais incontournable pour obtenir son Diplôme National du Brevet (DNB), nécessite une double compétence : la maîtrise du repérage dans le plan cartésien et la compréhension logique des instructions d'un logiciel de programmation par blocs comme Scratch. Dans cet exercice, l'élève doit manipuler des coordonnées relatives et absolues tout en interprétant des scripts qui ne sont pas nécessairement intuitifs au premier abord.

Maîtriser le repérage et l'échelle du plan

La première difficulté de cet exercice réside dans la lecture de l'échelle. L'énoncé précise que l'arrière-plan est constitué de points espacés de $40$ unités. C'est une information capitale. Contrairement aux exercices de géométrie classique où l'unité est souvent le centimètre ou le carreau de valeur $1$, ici chaque graduation visuelle représente un saut de $40$ sur l'axe des abscisses ($x$) ou des ordonnées ($y$).

Analyse détaillée de la Question 1 : Coordonnées de la balle

Pour déterminer les coordonnées du centre de la balle, il faut observer attentivement la grille fournie. En partant de l'origine $O(0,0)$, on compte le nombre de points d'espacement. On remarque que la balle se situe à $4$ points vers la droite et $3$ points vers le haut. Pour transformer cette position visuelle en coordonnées mathématiques exploitables dans le script, on effectue les calculs suivants :
- Abscisse ($x$) : $4 \times 40 = 160$
- Ordonnée ($y$) : $3 \times 40 = 120$
La balle a donc pour coordonnées $(160 ; 120)$. Cette étape est cruciale car elle définit l'objectif final du programme de déplacement du chat.

Analyse de la Question 2a : L'asymétrie des blocs de mouvement

La question 2a demande d'expliquer pourquoi le chat ne revient pas à son point de départ après un mouvement à droite puis à gauche. C'est ici que l'élève doit faire preuve de rigueur dans la lecture du code Scratch. En examinant les blocs, on s'aperçoit que :
- La touche 'flèche droite' ajoute $80$ à $x$.
- La touche 'flèche gauche' ajoute $-40$ à $x$.
Le bilan du déplacement est donc $80 + (-40) = +40$. Le chat s'est déplacé de $40$ unités vers la droite par rapport à sa position initiale. Pour revenir au départ, les valeurs auraient dû être opposées (par exemple $+80$ et $-80$). Cette asymétrie est un piège classique destiné à vérifier si l'élève lit réellement les valeurs numériques dans les bulles du script plutôt que de se fier à son intuition.

Analyse de la Question 2b : Calcul de la position finale

On nous propose une séquence de touches : $\to \to \uparrow \gets \downarrow$. Partant des coordonnées initiales $(-120 ; -80)$, calculons l'évolution pas à pas :
1. $\to$ : $x = -120 + 80 = -40$
2. $\to$ : $x = -40 + 80 = 40$
3. $\uparrow$ : $y = -80 + 80 = 0$
4. $\gets$ : $x = 40 - 40 = 0$
5. $\downarrow$ : $y = 0 - 40 = -40$
À la fin de cette séquence, le chat se trouve aux coordonnées $(0 ; -40)$. La méthode la plus sûre pour ne pas se tromper est de traiter séparément les variations de $x$ et les variations de $y$.

Analyse de la Question 2c : Choisir le bon déplacement

L'objectif est d'atteindre la balle située à $(160 ; 120)$ en partant de $(-120 ; -80)$.
L'écart à combler en $x$ est de $160 - (-120) = 280$ unités.
L'écart à combler en $y$ est de $120 - (-80) = 200$ unités.
Vérifions le Déplacement 1 : Sept fois $\to$ donne $7 \times 80 = 560$. C'est déjà trop pour $x$.
Vérifions le Déplacement 2 : Trois fois $\to$ ($240$), deux fois $\uparrow$ ($160$), une fois $\to$ ($80$), une fois $\downarrow$ ($-40$), une fois $\gets$ ($-40$).
Total $x$ : $240 + 80 - 40 = 280$. Total $y$ : $160 - 40 = 120$. Attention, ce déplacement n'atteint pas $(160, 120)$ car le point de départ en $y$ était $-80$. $-80 + 120 = 40$. Ce n'est pas suffisant.
Vérifions le Déplacement 3 : Trois fois $\uparrow$ ($3 \times 80 = 240$), quatre fois $\to$ ($4 \times 80 = 320$), deux fois $\downarrow$ ($2 \times -40 = -80$).
Total $y$ : $-80 + 240 - 80 = 80$. Toujours pas $120$.
Il est impératif de bien recompter les blocs sur l'image originale pour identifier la combinaison exacte qui mène à $x = 160$ et $y = 120$.

Analyse de la Question 3 : L'événement de collision

La dernière question porte sur le bloc conditionnel 'si Balle touchée alors'. Ce script gère l'interaction entre les deux objets (lutins). Si la condition est vraie (le chat touche la balle), deux actions s'exécutent : le chat prononce 'Je t'ai attrapé' pendant 2 secondes, puis il retourne à sa position de 'Départ'. C'est une boucle d'événement typique des jeux vidéo simples sur Scratch.

Les pièges à éviter lors de l'examen

1. **L'unité de mesure** : Ne confondez pas le nombre de points et la valeur en unités ($40$).
2. **Les signes négatifs** : Soustraire un nombre négatif ou ajouter une valeur négative est une source fréquente d'erreurs de calcul mental.
3. **La confusion $x$ et $y$** : Rappelez-vous que $x$ est l'axe horizontal (gauche/droite) et $y$ l'axe vertical (haut/bas).
4. **La lecture des scripts** : Vérifiez chaque bloc individuellement, ne supposez pas que 'droite' et 'gauche' ont la même valeur absolue.

Conseils de rédaction pour maximiser vos points

Pour réussir ce type d'exercice au Brevet, structurez vos réponses. Pour les calculs de coordonnées, écrivez explicitement l'opération : 'Position finale en $x$ = Position initiale + Déplacements'. Ne donnez pas juste le résultat final. En expliquant votre démarche, même si vous faites une petite erreur de calcul, l'examinateur pourra vous accorder une partie des points pour le raisonnement logique.