Introduction aux notions de Géométrie et de Gestion de Données

L'exercice 7 du sujet du Brevet des collèges 2017 (Série Générale, Zone Étrangers) est une étude de cas pratique mêlant la géométrie plane et la proportionnalité. À travers la rénovation d'une cuisine par le personnage de Bob, les élèves de 3ème sont confrontés à des problématiques concrètes : calcul d'aire, gestion de stock (paquets de carrelage) et analyse financière (facturation avec TVA). Maîtriser ces notions est indispensable pour l'épreuve de mathématiques, car elles représentent souvent une part importante des points de l'épreuve finale.

Analyse Méthodique de l'Exercice

1. Calcul de l'Aire et Application d'un Pourcentage

La première étape consiste à déterminer la surface au sol de la cuisine. Le sol est un rectangle de $4\text{ m}$ par $5\text{ m}$. La formule de l'aire d'un rectangle étant $A = L \times l$, nous obtenons $4 \times 5 = 20\text{ m}^2$. Cependant, l'énoncé introduit une contrainte de réalisme : il faut prévoir une marge de $5\%$ pour les pertes liées aux découpes.

Pour calculer la quantité totale à commander, on applique une augmentation de $5\%$ à la surface initiale. Plusieurs méthodes sont possibles :

• Calculer la valeur de l'augmentation : $20 \times \frac{5}{100} = 1\text{ m}^2$, puis l'ajouter : $20 + 1 = 21\text{ m}^2$.
• Utiliser le coefficient multiplicateur : $20 \times (1 + \frac{5}{100}) = 20 \times 1,05 = 21\text{ m}^2$.

Le résultat est bien de $21\text{ m}^2$, ce qui valide la démonstration demandée.

2. Détermination du Nombre de Paquets

Une fois la surface totale connue ($21\text{ m}^2$), il faut la convertir en unités d'achat. Le carrelage est vendu par paquets de $1,12\text{ m}^2$. Pour trouver le nombre de paquets, on effectue une division : $21 \div 1,12 = 18,75$.

Raisonnement logique : Un magasin ne vend généralement pas de paquets à l'unité. Même si le résultat est proche de 18, acheter 18 paquets serait insuffisant ($18 \times 1,12 = 20,16\text{ m}^2$, ce qui est inférieur aux $21\text{ m}^2$ requis). Bob doit donc arrondir à l'unité supérieure, soit 19 paquets.

3. Calcul du Coût Total du Carrelage

Le coût est directement proportionnel au nombre de paquets achetés. Chaque paquet coûtant $31\text{ €}$, le calcul est simple : $19 \text{ paquets} \times 31\text{ €/paquet} = 589\text{ €}$. Ce type de question évalue la capacité de l'élève à enchaîner des calculs logiques basés sur les résultats précédents.

4. Complétion de la Facture et Notions de TVA

La dernière partie de l'exercice porte sur la gestion d'une facture. C'est un excellent test sur la proportionnalité et le calcul de pourcentages.

• Sachet de croisillons : Le montant total HT est de $88\text{ €}$. On connaît déjà le prix de la colle ($36\text{ €}$) et des joints ($45\text{ €}$). La différence nous donne le prix total des croisillons : $88 - (36 + 45) = 7\text{ €}$. Comme le prix unitaire est de $7\text{ €}$, Bob a acheté exactement $1$ sachet.
• Sac de joint : Le montant total est de $45\text{ €}$ pour $2$ sacs. Le prix unitaire est donc $45 \div 2 = 22,50\text{ €}$.
• Calcul de la TVA : La TVA est de $20\%$. On calcule $88 \times 0,20 = 17,60\text{ €}$.
• Total TTC : On additionne le Total HT et la TVA : $88 + 17,60 = 105,60\text{ €}$.

Les Pièges à Éviter

Le premier piège classique est l'oubli de l'unité ou la confusion entre périmètre et aire. Rappelez-vous que l'aire s'exprime en $\text{m}^2$. Le deuxième écueil majeur concerne l'arrondi pour le nombre de paquets. Dans un problème de stock, on arrondit toujours à l'excès pour garantir que l'on ne manque pas de matière, même si la partie décimale est faible. Enfin, lors du calcul de la facture, veillez à bien séparer les colonnes "Montant unitaire" et "Montant total".

Conseils de Rédaction pour le Jour J

Pour obtenir le maximum de points au Brevet, structurez vos réponses. Commencez chaque question par une phrase d'introduction (ex: "Calculons la surface totale avec la marge de 5%"). Présentez clairement vos calculs en ligne ou sous forme de fractions, et concluez par une phrase réponse soulignée. Pour le tableau de la facture, n'hésitez pas à poser les opérations de soustraction et de multiplication à côté pour montrer au correcteur votre démarche intellectuelle, même si vous utilisez une calculatrice.