Introduction aux Géométries de l'Espace au Brevet
L'exercice 6 du sujet de Brevet Amerique du Nord 2016 est une pièce maîtresse pour tout élève de troisième souhaitant valider ses compétences en géométrie. Il ne se contente pas d'évaluer une seule notion, mais croise habilement le théorème de Thalès, le théorème de Pythagore et le calcul de volumes dans l'espace. Le support est concret : une manche à air sur un altiport, modélisée par un tronc de cône de révolution. Cette mise en situation réelle est typique des épreuves actuelles du DNB (Diplôme National du Brevet), où l'on demande à l'élève d'extraire des données mathématiques d'un contexte physique.
Analyse de la Question 1 : Le Théorème de Thalès en 3D
La première étape consiste à démontrer que la longueur $SB$ est égale à $480$ cm. Pour ce faire, il faut identifier une configuration de Thalès. Bien que nous soyons dans un cône, les génératrices et la hauteur forment des triangles dans un plan. Considérons le triangle $SAB$. Les droites $(AB)$ et $(A'B')$ sont parallèles car la section est effectuée par un plan parallèle à la base. Les points $S, A', A$ d'une part et $S, B', B$ d'autre part sont alignés. Selon le théorème de Thalès, nous avons l'égalité des rapports : $SB' / SB = A'B' / AB$.
Ici, une subtilité apparaît : nous connaissons $BB' = 240$ cm. Comme $B'$ appartient au segment $[SB]$, on peut écrire $SB' = SB - BB' = SB - 240$. En remplaçant dans l'égalité, on obtient $(SB - 240) / SB = 30 / 60$. Ce rapport simplifié vaut $0,5$. L'équation devient $SB - 240 = 0,5 \times SB$. En isolant $SB$, on trouve $0,5 \times SB = 240$, d'où $SB = 480$ cm. Cette question demande une rigueur de rédaction parfaite pour justifier le parallélisme.
Analyse de la Question 2 : Pythagore et l'Altitudes
Une fois $SB$ obtenu, on nous demande de calculer $SO$, la hauteur du grand cône. Le triangle $SOB$ est rectangle en $O$ (propriété du cône de révolution où la hauteur est perpendiculaire au rayon de la base). Nous pouvons donc appliquer le théorème de Pythagore : $SB^2 = SO^2 + OB^2$.
Attention à l'unité et à la valeur du rayon ! Si $AB = 60$ cm, alors le rayon $OB = 30$ cm. On a alors $480^2 = SO^2 + 30^2$, soit $230400 = SO^2 + 900$. On en déduit $SO^2 = 229500$. En utilisant la racine carrée, $SO = \sqrt{229500} \approx 479$ cm. Il est crucial ici de ne pas arrondir trop tôt dans les calculs pour conserver une précision optimale jusqu'au résultat final demandé au centimètre près.
Analyse de la Question 3 : Calcul du Volume du Tronc de Cône
La question finale porte sur le volume d'air contenu dans la manche à air. La manche à air est un tronc de cône. La méthode la plus sûre consiste à soustraire le volume du petit cône (de sommet $S$ et de base de rayon $15$ cm) du volume du grand cône (de sommet $S$ et de base de rayon $30$ cm).
Le volume d'un cône est donné par $V = (1/3) \times \pi \times R^2 \times H$.
Pour le grand cône : $V_1 = (1/3) \times \pi \times 30^2 \times 479$.
Pour le petit cône, on utilise le rapport de réduction $k$. Puisque $A'B' = 30$ et $AB = 60$, le rapport est $k = 1/2$. Le volume du petit cône est donc $V_2 = V_1 \times k^3 = V_1 / 8$.
Le volume de la manche à air est donc $V = V_1 - V_2 = V_1 \times (7/8)$.
En effectuant l'application numérique : $V \approx (7/8) \times (1/3) \times \pi \times 900 \times 479 \approx 443424 \text{ cm}^3$. L'élève doit être capable de jongler entre les valeurs exactes avec $\pi$ et les arrondis finaux pour satisfaire les consignes de l'énoncé.
Les Pièges à Éviter et Conseils de Rédaction
L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de confondre diamètre et rayon. $AB$ est le diamètre, donc $OB$ est le rayon. Si vous utilisez $60$ au lieu de $30$ dans la formule du volume ou de Pythagore, tout le raisonnement est faussé. Ensuite, n'oubliez pas les unités : un volume s'exprime en $\text{cm}^3$ ici. Pour la rédaction, n'omettez jamais de citer les théorèmes utilisés (Thalès, Pythagore) et de préciser les conditions d'application (triangles rectangles, droites parallèles). C'est ce qui différencie une copie correcte d'une excellente copie qui obtiendra le maximum de points.