Introduction aux notions de l'exercice
Cet exercice du sujet Brevet 2016 de la zone Métropole est un classique incontournable qui mobilise deux compétences majeures du programme de troisième : la maîtrise des volumes et la capacité à extraire des informations d'un document technique. L'enjeu ici est de comprendre comment les objets géométriques (le pavé droit et la boule) s'imbriquent dans un contexte réel. Nous allons aborder les notions de dimensions intérieures par opposition aux dimensions extérieures, un point où beaucoup d'élèves perdent des points précieux. La proportionnalité intervient également de manière implicite dans la gestion des quantités (150 billes) et la conversion des unités de mesure, notamment le passage crucial des centimètres cubes (cm³) aux litres (L).
Analyse Méthodique : Le Guide pas à pas
Pour réussir cet exercice, il ne suffit pas de connaître les formules, il faut savoir lire un schéma complexe. Le vase est présenté comme un pavé droit, mais attention : les dimensions données sont extérieures. Pour calculer l'espace disponible pour l'eau, nous devons déterminer les dimensions intérieures.
1. Calcul des dimensions intérieures du vase
Le vase a une base carrée de 9 cm de côté à l'extérieur. L'épaisseur des parois est de 0,2 cm. Ainsi, pour la longueur et la largeur intérieures, nous devons soustraire cette épaisseur deux fois (à gauche et à droite). On obtient donc : $9 - (2 \times 0,2) = 8,6$ cm. Pour la hauteur, c'est différent. L'épaisseur du fond est de 1,7 cm, mais il n'y a pas de "couvercle" à soustraire en haut. La hauteur intérieure est donc : $21,7 - 1,7 = 20$ cm. Le volume intérieur du vase est alors $V_{vase} = 8,6 \times 8,6 \times 20 = 1479,2$ cm³.
2. Calcul du volume des billes
On nous donne le diamètre d'une bille : 1,8 cm. La formule du volume d'une boule nécessite le rayon. Le rayon est donc de $0,9$ cm. Appliquons la formule fournie : $V_{bille} = \frac{4}{3} \times \pi \times 0,9^3$. À la calculatrice, une bille occupe environ $3,0536$ cm³. Comme Antoine place 150 billes, le volume total occupé par le verre des billes est de $150 \times 3,0536 \approx 458,04$ cm³.
3. La question du débordement
Antoine veut ajouter 1 litre d'eau. Rappelons la conversion fondamentale : $1 \text{ L} = 1 \text{ dm}^3 = 1000 \text{ cm}^3$. Le volume total (eau + billes) sera donc de $1000 + 458,04 = 1458,04$ cm³. Il suffit maintenant de comparer ce résultat au volume intérieur maximal du vase ($1479,2$ cm³). Puisque $1458,04 < 1479,2$, l'eau ne débordera pas.
Les Pièges à éviter (Conseils de Prof)
Le premier piège est l'oubli de la double épaisseur pour la largeur du vase. Visualisez bien : si vous mesurez l'intérieur, vous retirez le verre à gauche ET à droite. Le deuxième piège récurrent est la confusion entre diamètre et rayon. La formule du volume utilise le rayon, alors que l'énoncé donne souvent le diamètre pour tester votre vigilance. Enfin, surveillez vos unités. Si vous mélangez des décimètres et des centimètres, votre résultat sera faux d'un facteur 10, 100 ou 1000.
Conseils de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, explicitez chaque étape. Ne posez pas de calculs isolés. Écrivez des phrases comme : "Calculons d'abord le rayon d'une bille", ou "Déterminons le volume intérieur du vase en soustrayant l'épaisseur des parois". Citez toujours la formule utilisée avant de passer à l'application numérique. Une réponse bien structurée montre au correcteur que vous maîtrisez non seulement le calcul, mais aussi le raisonnement logique.
Conclusion sur la géométrie dans l'espace
Cet exercice illustre parfaitement pourquoi la géométrie est utile. Il combine le calcul de volume d'un solide simple (pavé) avec celui d'un solide plus complexe (boule) tout en intégrant des contraintes physiques réelles. En maîtrisant ces étapes, vous assurez une partie importante de votre note au Brevet de mathématiques. N'oubliez pas que la précision des arrondis peut varier, mais la méthode reste la même : analyser, convertir, calculer, comparer.