Introduction aux solides et aux volumes au Brevet
La géométrie dans l'espace est une composante essentielle du programme de mathématiques de 3ème. Dans cet exercice issu du sujet du Brevet des Collèges 2016 pour la zone Étrangers (Exercice 4), nous abordons une problématique concrète : la capacité d'un objet tridimensionnel à s'insérer dans un contenant restreint. L'objectif est de mobiliser les connaissances sur la pyramide régulière, les propriétés des quadrilatères et, inévitablement, le théorème de Pythagore appliqué dans un contexte spatial. Ce type d'exercice est particulièrement apprécié des correcteurs car il demande à l'élève de passer d'une figure complexe à des triangles rectangles plans exploitables.
Analyse Méthodique de l'Énoncé
L'énoncé nous présente un présentoir à macarons ayant la forme d'une pyramide régulière à base carrée. Deux données fondamentales sont fournies : le côté de la base carrée $AB = 30$ cm et la longueur des arêtes latérales $SA = SB = SC = SD = 55$ cm. La question centrale est de savoir si ce présentoir peut entrer dans une vitrine de 50 cm de hauteur. Cela revient mathématiquement à calculer la hauteur de la pyramide, notée $[SO]$, où $O$ est le centre de la base carrée $ABCD$.
Étape 1 : Étude de la base carrée
Pour trouver la hauteur $SO$, nous devons d'abord nous situer dans un triangle rectangle contenant ce segment. Le triangle $SOA$ est rectangle en $O$ (par définition de la hauteur d'une pyramide régulière). Cependant, la longueur $AO$ nous est inconnue. $AO$ représente la moitié de la diagonale du carré $ABCD$. En utilisant le théorème de Pythagore dans le triangle $ABC$ rectangle en $B$, nous avons : $AC^2 = AB^2 + BC^2$. Soit $AC^2 = 30^2 + 30^2 = 900 + 900 = 1800$. Ainsi, $AC = \sqrt{1800} = 30\sqrt{2} \approx 42,43$ cm. La distance $AO$, qui est le demi-segment, vaut donc $AO = AC / 2 = 15\sqrt{2} \approx 21,21$ cm.
Étape 2 : Calcul de la hauteur SO
Maintenant que nous connaissons $AO$ et l'arête latérale $SA = 55$ cm, nous appliquons de nouveau le théorème de Pythagore, mais cette fois dans le triangle $SOA$ rectangle en $O$. La relation s'écrit : $SA^2 = SO^2 + AO^2$. En isolant la hauteur, nous obtenons $SO^2 = SA^2 - AO^2$. En remplaçant par les valeurs numériques : $SO^2 = 55^2 - (15\sqrt{2})^2 = 3025 - 450 = 2575$. Pour obtenir $SO$, on calcule la racine carrée : $SO = \sqrt{2575} \approx 50,74$ cm. Ce résultat est crucial car il nous donne la dimension verticale réelle de l'objet.
Étape 3 : Conclusion et Interprétation
La question posée est binaire : peut-on placer le présentoir dans la vitrine ? La hauteur de la vitrine est de 50 cm. Notre calcul montre que la hauteur du présentoir est d'environ 50,74 cm. Comme $50,74 > 50$, la réponse est non : le présentoir est trop haut de quelques millimètres pour entrer dans la vitrine réfrigérée. Une telle conclusion nécessite une rédaction claire montrant la comparaison des deux valeurs.
Les Pièges à Éviter
L'erreur la plus fréquente dans cet exercice est de confondre l'arête latérale (55 cm) avec la hauteur de la pyramide. Beaucoup d'élèves pensent à tort que la pyramide fait 55 cm de haut, ce qui mènerait à la bonne conclusion par un mauvais raisonnement. Un autre piège réside dans le calcul de $AO$. N'oubliez pas que dans une pyramide régulière, la hauteur tombe au centre du cercle circonscrit à la base, qui, pour un carré, est l'intersection des diagonales. Enfin, attention aux unités : ici tout est en centimètres, mais restez vigilants en cas de mélange avec des décimètres ou des mètres.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points : 1. Nommez clairement les triangles dans lesquels vous travaillez. 2. Énoncez explicitement le théorème de Pythagore. 3. Présentez la valeur exacte (racine carrée) avant de donner l'arrondi. 4. Concluez par une phrase répondant précisément à la question posée. La clarté de votre schéma mental (visualiser le triangle intérieur $SOA$) est la clé du succès.