Introduction aux statistiques du Brevet
Les statistiques représentent un pilier fondamental du programme de mathématiques de 3ème. Cet exercice, issu du sujet du Brevet 2016 pour la zone Asie (Exercice 3), met en lumière l'application concrète des outils statistiques dans le monde de l'entreprise. À travers l'étude de la production d'une machine de conditionnement de bonbons, l'élève doit manipuler des notions clés telles que la moyenne pondérée, l'étendue et l'écart interquartile. Maîtriser ces concepts est essentiel, car ils reviennent quasi systématiquement dans les épreuves finales. L'objectif ici n'est pas seulement de calculer des chiffres, mais de les interpréter pour valider ou non un processus industriel de qualité.
Analyse Méthodique de l'exercice
L'exercice nous présente une série statistique discrète sous forme de tableau d'effectifs. Pour répondre à la question finale — la machine est-elle validée ? — nous devons vérifier trois critères de qualité distincts. Voici le raisonnement à suivre pas à pas.
1. Le calcul de la moyenne pondérée
Le premier critère concerne le nombre moyen de bonbons par paquet. Dans une série où les valeurs (nombre de bonbons) ont des effectifs différents, on utilise la moyenne pondérée. La formule est la suivante : la somme de chaque valeur multipliée par son effectif, le tout divisé par l'effectif total.
Dans notre cas, l'effectif total est de $500$ paquets. Le calcul se décompose ainsi :
Total = $(56 \times 4) + (57 \times 36) + (58 \times 53) + (59 \times 79) + (60 \times 145) + (61 \times 82) + (62 \times 56) + (63 \times 38) + (64 \times 7)$.
Après calcul, nous obtenons une somme totale de $30\,027$ bonbons. La moyenne est donc $30\,027 / 500 = 60,054$.
Comparaison avec le critère : Le critère impose une moyenne comprise entre $59,9$ et $60,1$. Comme $59,9 < 60,054 < 60,1$, le premier critère est validé.
2. Déterminer l'étendue de la série
L'étendue est sans doute la notion la plus simple, mais elle est révélatrice de la dispersion des données. Elle se calcule en faisant la différence entre la valeur maximale et la valeur minimale de la série.
Ici, la valeur maximale est $64$ bonbons et la valeur minimale est $56$ bonbons. L'étendue est donc : $64 - 56 = 8$.
Le critère stipule que l'étendue doit être inférieure ou égale à $10$. Puisque $8 \le 10$, le deuxième critère est validé.
3. Analyse des quartiles et de l'écart interquartile
C'est souvent la partie la plus délicate pour les élèves de 3ème. L'écart interquartile est la différence entre le troisième quartile ($Q_3$) et le premier quartile ($Q_1$).
- Calcul de $Q_1$ : On cherche la donnée correspondant à au moins 25% de l'effectif total. $500 / 4 = 125$. On cherche donc la 125ème valeur dans le tableau des effectifs cumulés. En additionnant les effectifs : $4 + 36 + 53 = 93$ (trop petit), $93 + 79 = 172$ (contient la 125ème valeur). Donc $Q_1 = 59$.
- Calcul de $Q_3$ : On cherche la donnée correspondant à au moins 75% de l'effectif total. $500 \times 0,75 = 375$. En continuant les effectifs cumulés : $172 + 145 = 317$, $317 + 82 = 399$ (contient la 375ème valeur). Donc $Q_3 = 61$.
L'écart interquartile est donc $Q_3 - Q_1 = 61 - 59 = 2$. Le critère exigeait un écart inférieur ou égal à $3$. Comme $2 \le 3$, le troisième critère est validé.
Les Pièges à éviter
Attention à ne pas confondre les valeurs et les effectifs lors des calculs ! Une erreur fréquente consiste à calculer l'étendue sur les effectifs (ex: $145 - 4$) au lieu de la faire sur les valeurs du nombre de bonbons ($64 - 56$). De même, pour les quartiles, ne donnez pas le rang ($125$ ou $375$) comme réponse, mais bien la valeur associée à ce rang dans le tableau.
Conseils de rédaction pour le Brevet
Pour obtenir le maximum de points, structurez votre réponse en trois paragraphes distincts, un pour chaque critère. Énoncez clairement la formule utilisée, montrez votre calcul, puis concluez explicitement par une phrase de comparaison par rapport au critère de l'énoncé. N'oubliez pas la conclusion générale : puisque les trois critères sont respectés, la machine est validée par l'entreprise.