Introduction aux programmes de calcul et à l'algèbre
Les programmes de calcul constituent une étape charnière dans le programme de mathématiques de 3ème. Ils font le pont entre l'arithmétique élémentaire et la modélisation algébrique. Dans cet exercice issu du Brevet 2016 (Série Générale - Métropole), nous analysons deux structures algorithmiques simples pour comprendre comment une suite d'instructions peut être traduite par une fonction mathématique. L'objectif est de maîtriser les priorités opératoires, la gestion des nombres relatifs et la résolution d'équations linéaires.
Analyse Méthodique de l'Exercice
1. Vérification numérique (Le passage du texte au calcul)
La première question est une application directe visant à tester la compréhension des instructions. Pour le Programme A, on nous donne un nombre de départ : 2. L'instruction 2 demande de multiplier par -2, ce qui nous donne \(2 \times (-2) = -4\). L'instruction 3 demande d'ajouter 13. Le calcul final est donc \(-4 + 13 = 9\). Cette étape est cruciale pour l'élève car elle valide la compréhension du processus avant de passer à l'abstraction.
2. Remonter le fil : Le calcul inverse
La question 2 introduit une complexité supplémentaire : on connaît le résultat final (9) et on cherche le nombre initial pour le Programme B. Il existe deux stratégies gagnantes ici. La première est la méthode arithmétique 'à l'envers'. On inverse chaque opération dans l'ordre inverse de son exécution : au lieu de multiplier par 3 à la fin, on divise par 3 (\(9 \div 3 = 3\)). Au lieu de soustraire 7, on ajoute 7 (\(3 + 7 = 10\)). La seconde méthode est algébrique : on pose \(x\) comme nombre de départ. Le programme se traduit par \(3(x - 7) = 9\). En résolvant cette équation, on divise chaque membre par 3, obtenant \(x - 7 = 3\), soit \(x = 10\).
3. L'équation : Le point de rencontre des deux programmes
La dernière question est la plus dense. Elle demande de trouver une valeur de départ commune pour un résultat identique. C'est l'essence même de l'algèbre. On modélise le Programme A par la fonction \(f(x) = -2x + 13\) et le Programme B par la fonction \(g(x) = 3(x - 7)\). Chercher quand les deux programmes donnent le même résultat revient à résoudre l'équation \(f(x) = g(x)\).
Développons d'abord l'expression de B : \(3x - 21\).
L'équation devient : \(-2x + 13 = 3x - 21\).
En isolant les termes en \(x\) d'un côté et les constantes de l'autre :
\(13 + 21 = 3x + 2x\)
\(34 = 5x\)
\(x = 34 / 5 = 6,8\).
Ainsi, en choisissant 6,8, les deux programmes aboutiront exactement au même résultat.
Les Pièges à Éviter
Le piège principal dans ce type d'exercice concerne les priorités opératoires et la distributivité. Dans le Programme B, l'étape 3 stipule de multiplier 'le résultat' par 3. Cela signifie que la multiplication s'applique à la différence (le nombre choisi moins 7). Sans parenthèses (\(3 \times x - 7\)), le calcul est faux. Un autre point de vigilance est le signe dans le Programme A : multiplier par un nombre négatif inverse le sens de l'opération. Enfin, lors de la résolution d'équation, l'erreur classique consiste à se tromper de signe lors du passage d'un membre à l'autre de l'égalité.
Conseil de Rédaction pour le Brevet
Pour obtenir la totalité des points, le correcteur attend une structure rigoureuse. Commencez par définir clairement l'inconnue : 'Soit x le nombre choisi au départ'. Présentez vos calculs par étapes, en alignant les signes 'égal' pour la résolution d'équation. Ne donnez pas seulement le résultat final ; montrez le développement et la réduction. Une phrase de conclusion telle que 'Pour obtenir le même résultat, le nombre de départ doit être 6,8' permet de clore proprement votre raisonnement et de montrer que vous avez répondu précisément à la consigne posée.